Множественный регрессионный анализ

Множественный регрессионный анализ позволяет производить оценку случайной связи между зависимой переменной Y и любым количеством независимых переменных Xi=X1,X2,X3,...,Xk. Данную функцию можно представить в виде уравнения:

Y=F(X1, X2, X3, ..., Xk)

Основа множественного регрессионного анализа - это оценка параметров регрессии, или коэффициентов, для каждой независимой переменной.

Каждый параметр, в свою очередь, его функциональная зависимость, коэффициенты, является мерой того, как каждая независимая Xi переменная влияет на зависимую переменную Y

при условии, что все остальные независимые переменные поддерживаются неизменными.

В основе множественного регрессионного анализа, статистических критериев его оценки лежит одномерная, многомерная статистика. Для лучшего понимания предложенного далее процесса построения регрессионных моделей рассмотрим некоторые существенные моменты их базовых основ.

БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ ЭКОНОМЕТРИКИ

В основу эконометрики положены базовые понятия, принципы, концепции:

Закона больших чисел; Генеральной, выборочной совокупности; Концепция максимального правдоподобия; Принцип рандомизации, предложенные Р.Фишером в 1912 г.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Многочисленные опыты и наблюдения показали, что частости m/n ожидаемых случайных событий A приближаются к их вероятности P(A) по мере увеличения числа испытаний n. Так, если одну и ту же монету подбрасывать большое число раз, то можно ожидать, что чем больше число испытаний, тем ближе к единице оказывается отношение выпавших гербов и решек, а частость каждого события становится ближе к его вероятности.

Этот закон утверждает, что частость m/n события А будет сколь угодно близкой к его вероятности P(A), если число n испытаний неограниченно возрастает.

Таким образом, частость m/n события А и его вероятность P(A) не совпадают. Разница между ними уменьшается при увеличении числа испытаний.

Можно взять сколь угодно малое число и сравнивать его с разницей между частостью и вероятностью события. Вероятность того, что эта разница превысит число e -> error, будет стремиться к нулю при стремлении числа испытаний n к бесконечности, т. е.

P(abs(m/n-P(A))>e=>0

Данный закон свидетельствует о наличии внутренней связи между случайностью и закономерностью, существующей в сфере массовых явлений.

ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ. ВЫБОРКА. РАНДОМИЗАЦИЯ

В процессе эконометрического наблюдения обследованию могут подвергаться все элементы однородной совокупности или некоторая часть. Все элементы однородной совокупности назвали генеральной совокупностью, а некоторую часть, которая корректно описывает, характеризует всю генеральную совокупность, назвали выборкой (выборочным наблюдением или не сплошным наблюдением). Например, если требуется обследовать большой коллектив рабочих одной и той же профессии, то весь коллектив данной профессии называется однородной генеральной совокупностью, а выделенная для обследования часть коллектива исследуемой профессии называется выборочной совокупностью или выборкой. Обратите внимание, на важное понятие 'однородности' генеральной совокупности, выборки: исследовались и отбирались рабочие только 'одной' профессии.

При этом утверждается, чтобы на основе обследования некоторой части совокупности - выборки можно достоверно судить обо всей исследуемой однородной совокупности - генеральной. Т.е. изучая отдельные части целого, исследователь должен понять все целое. Естественно желание сформировать выборку так, чтобы она наилучшим образом представляла целое - генеральную совокупность.

Как этого добиться?

Если целое - генеральная совокупность нам неизвестна, то ничего лучшего не удается предложить для формирования выборки, чем чисто случайный выбор. Т.е. как бы исследователь хорошо не знал свой предмет, то все равно на некоторой стадии наступает незнание, и как результат он неизбежно будет полагаться на интуицию - его величество случай.

Данный процесс познания однородного целого по его части и послужил основой принципа рандомизации Р.Фишера или случайного отбора. Нарушение принципа рандомизации приводит к серьезным ошибкам.

Любое выборочное наблюдение не дает точной характеристики всей генеральной совокупности. Поэтому каждый результат, вычисленный по данным выборки, имеет некоторую погрешность - вспомните закон больших чисел. Эта погрешность выборки называется ошибкой репрезентативности (или представительности). Ошибка репрезентативности показывает величину расхождения между показателями по данным выборочного обследования и соответствующими показателями всей статистической генеральной совокупности.

Случайный характер отбора объектов обследования в выборке приводит к случайному же характеру ошибок репрезентативности. Поэтому здесь можно на основе закона больших чисел, увеличивая объем выборки, регулировать пределы возможной ошибки репрезентативности и, наоборот, по заданному пределу допустимой ошибки определить необходимую численность выборки. При вычислении средней величины она определяется как разность между выборочной средней и генеральной средней. Эта ошибка выборочного метода порождает смещение в оценках генеральной совокупности. Например, если мы хотим обследовать некоторую отрасль или общество, то соответственно в выборке должны быть представлены малые, средние, большие предприятия данной отрасли, все слои общества из всех регионов.

ИЗ СКАЗАННОГО ВЫШЕ СЛЕДУЮТ СЛЕДУЮЩИЕ ВЫВОДЫ

Генеральной совокупностью (X) называют множество результатов всех мыслимых наблюдений над значениями одного или нескольких признаков, которые могут быть сделаны при данном комплексе условий. При этом комплекс условий определяет вариацию признаков генеральной совокупности. Синонимом генеральной совокупности в статистике является случайная величина X.

Выборочной совокупностью (выборкой) x1,x2,..,xn называют множество результатов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Выборка должна быть репрезентативной, т.е. правильно отражать пропорции генеральной совокупности. Это достигается случайностью отбора, когда все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность быть отобранными. Задача статистики практически сводится к обоснованному суждению об объективных свойствах генеральной совокупности по результатам случайной выборки. Репрезентативность выборки достигается способом рандомизации (от англ. random - случай) или случайным отбором вариант из генеральной совокупности, что обеспечивает равную возможность для всех членов генеральной совокупности попасть в состав выборки.

В основе объяснения перехода от характеристик случайной величины X, которые вычисляются на основе точного знания исследуемого закона распределения, к эмпирическим (выборочным) лежит интерпретация выборки как модели генеральной совокупности, в которой возможными значениями являются наблюдавшиеся (т.е. практически реализованные) значения x1,x2,..,xn а в качестве вероятностей берутся соответствующие относительные частоты их появления в выборке, т.е. величины, равные 1/n.

Сказанное проиллюстрируем на примере наиболее часто используемых параметров для оценки генеральной совокупности начального момента первого порядка - математическое ожидание µ1 и центрального момента второго порядка - дисперсия µ2.

Математическое ожидание µ1 дискретной случайной величины с n возможными значениями x1,x2,..,xn и соответствующими вероятностями p1=p2=...=pn=1/n равно:

µ1=Sum(xi*pi), суммирование производится по i=1,2,...,n

Исходя из формулы математического ожидания, мы пришли к формуле средней арифметической (выборочной средней - MX), основной и наиболее употребительной характеристики центра группирования:

MX=1/n*Sum(xi), суммирование производится по i=1,2,...,n

Таким образом, средняя арифметическая MX является выборочным аналогом математического ожидания генеральной совокупности µ1, т.е. µ1=>MX.

Дисперсия µ2 случайной дискретной величины равна:

µ2=Sum((xi-µ1)^2*pi), суммирование производится по i=1,2,...,n

Учитывая, что для выборки µ1=МX, pi=1/n получим:

DX=1/(n)*Sum((xi-МX)^2), суммирование производится по i=1,2,...,n

Таким образом, выборочная дисперсия DX является выборочным аналогом дисперсии генеральной совокупности µ2, т.е. µ2=>DX. Было установлено, что данное уравнение выборочной дисперсии оказывается смещенной по отношению к своему генеральному параметру на величину, равную n/(n-1).

Чтобы получить несмещенную дисперсию выборки нужно ввести в качестве множителя данную поправку смещения, называемую поправкой Бесселя.

Данное смещение вполне очевидно, в формуле дисперсии выборки, размер которой n присутствует МХ, который забирает одну степень свободы:

DX=1/(n-1)*Sum((xi-МX)^2).

Перед каждым исследователем стоит задача так сформировать выборку, чтобы она более полно (репрезентативно) отражала генеральную совокупность. Т.е. без ошибок и/или когда ошибка близка к 0, ошибка e=>0.

Обозначая ошибку репрезентативности символом e, будем иметь для оценки ошибки среднего:

e=МX-µ1

Приведем конкретный пример. Пусть в коллективе из 20000 рабочих средняя месячная заработная плата рабочего (генеральная средняя) составляет 95,9 руб. При выборочном обследовании 1000 рабочих средняя заработная плата рабочего (выборочная средняя) оказалась равной 96 руб. Отсюда ошибка репрезентативности при выборочном обследовании определяется так:

e=МX-µ1=96-95,9=0,1 руб.

Аналогично проводится вычисление ошибки репрезентативности при определении доли изучаемого признака в некоторой генеральной совокупности. Если N - численность генеральной совокупности, a M - количество единиц, обладающих данным признаком в ее составе, то доля (р) единиц, обладающих этим признаком в генеральной совокупности p=M/N называется генеральной долей. Если для выборочной совокупности n обозначает численность выборки, m-количество единиц, обладающих изучаемым признаком в составе выборочной совокупности, а w-долю соответствующих единиц в составе выборки, то выборочная доля - w=m/n.

Разность e=w-p определяет ошибку репрезентативности.

Пусть в рассматриваемом коллективе из N=20000 рабочих имеется 1250 учеников, т.е. M=1250. Этим определяется генеральная доля учеников в объеме генеральной совокупности:

p=1250/20000=0.0625

В выборочной совокупности из n=1000 человек оказалось m=64 ученика. Этим определяется выборочная доля:

w=64/1000=0,064.

Ошибка репрезентативности, таким образом, составляет:

e=w-p=0,064-0,0625=0,0015,

или m/n - p=0.0015.

В статистике используются два различных варианта интерпретации выборки и ее отдельных элементов.

При ПЕРВОМ (практическом) варианте интерпретации под ВЫБОРКОЙ x1,x2,..,xn понимаются фактически выявленные значения исследуемой случайной величины, т. е. конкретные числа.

В соответствии со ВТОРЫМ вариантом интерпретации под ВЫБОРКОЙ x1,x2,..,xn понимается последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, закон распределения которых совпадает с распределением генеральной совокупности.

Таким образом, если генеральная совокупность X имеет нормальное распределение, т.е. X=> N(µ1;µ2), то хi также принадлежит для всех i=1,2,..,n к нормальному распределению с математическим ожиданием Mхi=µ1 и дисперсией Dхi=µ2, т.е. хi=>N(µ1;µ2) для i=1,2,..,n.

В соответствии со ВТОРЫМ определением ВЫБОРКИ все выборочные характеристики (MX, DX, m/n) являются СЛУЧАЙНЫМИ величинами, как функции от случайных!!!

В отличие от ВЫБОРОЧНЫХ, параметры ГЕНЕРАЛЬНОЙ совокупности (µ1;µ2;p) являются НЕСЛУЧАЙНЫМИ величинами!!!

Данный момент вполне очевиден - выборка формируется на основании принципа рандомизации - случайного выбора данных из генеральной совокупности, поэтому выборочные характеристики (MX, DX, m/n) являются естественно СЛУЧАЙНЫМИ величинами, в отличие от ГЕНЕРАЛЬНОЙ совокупности.

Во многих случаях параметры генеральной совокупности µ1; µ2; p неизвестны, а известны лишь полученные по выборке их оценки, значения средней арифметической MX, выборочного среднего квадратического отклонения Sqr(DXmx) или относительной частоты w=m/n.

Тогда оценка значения средней квадратической ошибки средней арифметической µ2mx определяют по формуле:

Sqr(DXmx)=Sqr(DX)/Sqr(n) - оценка точности значения средней арифметической MX,

где Sqr(DX)=Sqr(1/(n)*Sum((xi-МX)^2) - собственно выборочный средне квадратичное отклонение. Оценку значения средней квадратической ошибки sw относительной частоты генеральной совокупности Sqr(µ2w) находят с помощью формулы:

sw=Sqr(w(1-w)/n)

При бесповторном отборе вариант из численно ограниченной генеральной совокупности ошибка выборочной средней оказывается несколько завышенной, особенно в тех случаях, когда объем выборки достаточно велик (n>25% от N).

Учитывая это обстоятельство, К. Пирсон (1898) предложил поправку Sqr((N-n)/(N-1)), которую в этом случае необходимо вносить в качестве множителя в формулу Sqr(DXmx)=Sqr(DX)/Sqr(n). При этом вместо (N-n)/(N-1) можно использовать приближенную величину 1-n/N, где n/N - доля выборки, т.е. вычислять ошибку средней по формуле:

Sqr(DXmx)=Sqr(DX/n*(1-n/N))

Чем больше доля выборки, тем сильнее скажется поправка на величине ошибки средней. Если же доля выборки мала, что наиболее часто встречается в практике, поправка оказывается близкой к единице и величина ошибки средней практически не изменится. Поэтому в тех случаях, когда объем генеральной совокупности N достаточно велик по сравнению с объемом выборки n, величина поправки 1-n/N будет близка к единице и ею можно пренебречь:

Sqr(DXmx)=Sqr(DX/n*(1-n/N))=Sqr(DX/n)

Пример. Из общего числа 500 мужчин, подлежащих призыву на военную службу, выборочно измерен рост у 80 человек. Средний рост призывников оказался равен 170 см с дисперсией DX=66,3. Определим ошибку Sqr(DXmx) для этой средней:

Sqr(DXmx)=Sqr(DX/n(1-n/N))=Sqr(66.3/80(1-80/500))=0.834

Если же ошибку средней вычислить без поправки Пирсона, она оказывается следующей:

Одно лишь свойство специфично для ошибок репрезентативности: они уменьшаются при увеличении объема выборки, т. е. при n=>oo, Sqr(DXmx)=>0. Это свойство статистических ошибок обусловлено действием закона больших чисел, по которому наиболее вероятный результат получается при наибольшем числе испытаний.

Отсюда понятно значение ошибки: она указывает на точность, с какой выборочный показатель репрезентирует, представляет, описывает генеральный параметр. Чем меньше ошибка, тем ближе выборочная характеристика к величине генерального параметра, и, наоборот, чем больше ошибка, тем менее точно выборочная характеристика репрезентирует генеральный параметр.

Ошибками репрезентативности сопровождаются и другие выборочные показатели, из которых необходимо отметить следующие:

Ошибка медианы: DXme=DXmx*Pi/2, где Pi=3,14 число пи.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ НЕКОТОРОГО КОЭФФИЦИЕНТА ЗАДАННОЙ ПОСТОЯННОЙ

В практической работе мы часто встречаемся с анализом выборочных средних.

В этой связи полезным является распределение впервые определенное У.С.Госсетом, писавшим под псевдонимом Student.

Рассмотрим это распределение, известное также как распределение Стьюдента, или t-распределение, а также его многомерное обобщение, данное Гарольдом Хотеллингом, критерий Хотеллинга T2.

У.С.Госсет рассуждал следующим образом. Допустим, дисперсия µ2 генеральной совокупности известна или определена заранее, а средняя величина µ1 генеральной совокупности не известна, и ее можно вычислить только как среднюю по выборке - MX. При этом генеральная совокупность описывается нормальным распределением, а все случайные наблюдения - отобранные данные Xi, которые мы включили в выборку, были взяты из ДАННОЙ ИССЛЕДУЕМОЙ генеральной совокупности, а не из какой-нибудь другой. В результате благодаря принципу рандомизации - случайного отбора, предложенного Р.Фишером, средняя величина выборки - MX НЕ БУДЕТ СУЩЕСТВЕННО отличаться от средней величины µ1 генеральной совокупности. Если же часть (или ВСЕ) наблюдения случайно отобранных данных Xi, которые мы включили в выборку были взяты из ДРУГОЙ генеральной совокупности, то средняя величина выборки - MХ БУДЕТ СУЩЕСТВЕННО отличаться от средней величины µ1 ИССЛЕДУЕМОЙ генеральной совокупности.

Очевидно, что существует бесконечно много нормальных плотностей вероятности, зависящих от различных комбинаций МХ и DX. К счастью, мы можем выразить нормальную плотность в стандартной форме, записав ее как функцию стандартизованной переменной z, а не Xi. Эта стандартизованная переменная определяется как:

z=(Xi-µ1)/sqr(µ2)

Рассмотрим числовой пример. Предположим, что относительно величины Xi известно, что она распределена нормально, со средним значением, равным µ1=10 единицам, и дисперсией µ2=4 единицам. Еще раз вспомним, что распространенным (и удобным) понятием в статистике является понятие генеральной совокупности, которое определяется как совокупность всех мыслимых наблюдений (но не значений), которые могли бы быть сделаны при данном, реальном комплексе условий. В свою очередь реальный комплекс условий математически полностью определяется законом распределения вероятностей, и в частности функцией плотности вероятности. Какова вероятность того, что случайное наблюдение, извлеченное из этой генеральной совокупности, даст значение Xi, равное или большее 12? В стандартной шкале z искомое значение Xi равно:

z=(Xi-µ1)/sqr(µ2)=(12-10)/sqr(4)=(12-10)/2=1

Вероятность того, что X будет больше 12, равна 0.15866, а вероятность того, что Xi будет меньше 12, равна: 1,0 - 0,15866=0,84134, так как общая площадь под кривой равна единице. Имея в виду, что плотность симметрична, вероятность получения значения X, равного или меньшего 8 (т.е. z=1,0), также будет составлять 0,15866.

ПОСТРОЕНИЕ МНОГОФАКТОРНОЙ ФУНКЦИИ

Многофакторное уравнение должно отвечать трем важным требованиям:

Как можно точнее отражать связи между зависимыми и независимыми переменными?
Как представить собой простую и надежную модель рыночных процессов?
Как учитывать изменения во времени и значений стоимости?

Для проведения грамотного множественного регрессионного анализа необходимо понимание (интерпретация) его экономического смысла. Данный анализ начнем с выявления (идентификации) переменных.

Этап 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ.

При любом эмпирическом изучении функции в первую очередь нам необходимо выявить независимые переменные Xi=X1,X2,...,Xk и их связь с зависимой переменной Y:

Y=f(X1,X2,X3,X4,...,Xk).

Однако недостаточно определить связь переменных X1,X2,...,Xk с зависимой переменной Y. Мы должны также определить, имеют ли независимые переменные связи друг с другом. Построение многовариантной функции часто затруднено вследствие близких взаимных связей между внешними (исследуемыми) факторами X1,X2,...,Xk, определяющими Y, и тем фактом, что их величины изменяются более или менее случайно. Это последнее обстоятельство особенно досадно, так как трудно определить, какое реальное действие оказывает на Y одна из переменных в то время, как остальные переменные не изменяются.

При анализе простой (парной) регрессии мы полагаем, что Y изменяется в результате изменений X1, в то время как все остальные переменные X2, X3, ..., Xk не меняются. Такой же анализ можно осуществить и в отношении к остальным факторам.

Проблема идентификации может быть решена при помощи множественной регрессии при условии наличия достаточной информации и безусловного решения следующих проблем:

Априори правильно осуществлена интерпретация исследуемых экономических процессов. Ни один из существенных факторов (переменных) не пропущен.
Собрана необходимая и достаточная информация по каждому из факторов. В частности определена их глубина (размер выборки). Например, по временным периодам - день, неделя, декада,…, год. В случае невозможности получения соизмеримых выборок, то можно сформировать модель достоверной интерполяции (полином, сплайн и т.д.) эконометрических данных.
Не допущены ошибки выбора спецификаций (типов) функций для корректной аппроксимации (подгонки) модели. Например, в модели использована самая простая множественная линейная регрессия, как следствие может быть порождена ошибка выбора спецификации функции. К сожалению, в экономике линейная зависимость редко встречается.

Некорректное решение данных проблем в совокупности приведет к неверно построенной модели исследуемых экономических процессов.

В частности, если для оценки функции используется анализ временных рядов, то мы должны знать о существовании проблемы идентификации, так как за период, достаточно продолжительный для данного анализа, можно ожидать изменения и других переменных, кроме анализируемой в данный момент переменной. Многие количественные переменные могут быть легко выявлены. Качественные переменные прямо не вычисляются. Тем не менее, степень их изменений может быть представлена в численном виде и, следовательно, может быть включена во множественный регрессионный анализ.

Например, качество некого товара можно оценивать не в целом как 'некое качество', что явно не поддается эконометрической обработке, а по 10-ти или 100 бальной системе. В результате качественная переменная приобретает количественное свойство и ее можно с успехом подвергнуть эконометрической обработке.

Этап 2. СБОР И УТОЧНЕНИЕ ДАННЫХ

Когда переменные выявлены, необходимо получить о них информацию. Источники такой информации, конечно же, определяются требованиями к модели.

При сборе данных необходимо учитывать следующие аспекты:

Организацию информации (т.е. какую информацию следует использовать: ежедневную, месячную, квартальную или годовую).
Количество наблюдений, требуемое для получения хороших результатов.
Если в исследованиях собраны и/или имеются данные с различной информационной глубиной: ежедневные, месячные, квартальные, годовые, то, как корректно осуществить подгонку (аппроксимацию, интерполяцию) исследуемых данных.

ОРГАНИЗАЦИЯ И УТОЧНЕНИЕ ДАННЫХ

Вопрос о том, какую информацию лучше использовать - ежедневную, месячную, квартальную или годовую, - чаще всего решается на основе доступности. Многие организации не публикуют экономические сборники так часто, как этого хотелось бы исследователям, оставляя им возможность пользоваться лишь ежегодной информацией. При возможности было бы желательно иметь как можно большее количество наблюдений, что позволяет достичь большей эконометрической достоверности.

Например, данные временных рядов должны быть скорректированы с учетом изменений численности населения, инфляции, процентных ставок и т.д. Данные могут нуждаться в сезонном уточнении. Далее, так как многие экономические явления реагируют на изменение условий с некоторой задержкой (временным лагом), эконометрические модели, в которых используется информация, должны создаваться с применением скорее опережающих, чем текущих переменных. Кроме того, тот или другой ряд, может быть, сдвинут во времени таким образом, чтобы действие и реакция на это действие происходили одновременно.

Например, в интерпретации Чекирды закон Окуня на современном этапе можно озвучить следующим образом:

В результате изменений цен на нефть, солнечной активности, можно ожидать рост цен на выпускаемую продукцию через механизмы спроса и предложения, и как следствие снижение спроса потребителей, что в свою очередь с временным лагом в 1 год вызывает рост безработицы, которая неизбежно приводит к падению ВВП страны.

КОЛИЧЕСТВО НАБЛЮДЕНИЙ

Вопрос о том, какое количество наблюдений необходимо для получения обоснованных эконометрических результатов, не прост. Адекватных результатов можно ожидать, если мы будем работать со всей генеральной совокупностью. Но это редко удается. Обычно ограничения во времени и в деньгах, выделенных на сбор информации, вынуждают исследователей использовать выборочный метод.

Размер выборки является компромиссом:

между ростом затрат на сбор данных при увеличении объема выборки;
и снижением убытков от ошибки оценки.

Основное правило состоит в том, что для хорошо выбранной модели требуется количество наблюдений, по крайней мере, в 3 или 5 раза большее, чем количество независимых переменных.

Если модель (ее функциональное описание) выбрана неправильно, то никакой объем информации не поможет получить корректный результат.

Следующий этап состоит в выборе формы (функциональной зависимости) регрессионного уравнения.

Этап 3. ВЫБОР НАИЛУЧШЕЙ ФОРМЫ УРАВНЕНИЯ

Многие нелинейные зависимости, функции можно свести к линейным в доступном интервале эмпирических данных. В таком случае наилучшей формой является уравнение, описывающее регрессионную плоскость сверху, снизу или совпадающее с наблюденными точками. Самое простое оценочное уравнение имеет вид:

Y=b0+b1X1+b2X2+...+bnXn,

где Y - оценка функциональной зависимости;
Xi - значение i-й независимой переменной;
bi - оценочное значение i-го регрессионного параметра.

Когда данные указывают на то, что функция их распределения не совсем линейна, мы можем свести ее к линейным формам. Например, ниже приведенные нелинейные формы приводятся к линейным:

Степенная: Y=b0X1^b1...Xn^bn => прологарифмируем левую и правую части уравнения => Ln(Y)=Ln(b0)+b1Ln(X1)+...+bn*Ln(Xn)

Логарифмическая: Y=b0+b1Ln(X1)+...+bnLn(Xn) => заменим выражения Ln(X1),...,Ln(Xn) на U1,...,Un => Y=b0+b1U1+...+bnUn

Экспоненциальная: Y=b0Exp(b1X1)...Exp(bnXn) => прологарифмируем левую и правую части уравнения => Ln(Y)=Ln(b0)+b1X1+...+bn*Xn

Полиноминальная (многочлен): Y=b0+b1X1^1+b2X1^2+...+bnX1^n => заменим выражения X1^1,X1^2,...,X1^n на U1,...,Un => Y=b0+b1U1+b2U2+...+bnUn

В каждом конкретном случае необходимо испробовать ВСЕ формы!!!

И использовать ту из них, которая лучше описывает связь между зависимой Y и независимыми переменными Xi.

NB. При этом следует не забывать, что в дальнейшем необходимо осуществить обратное преобразование всех к-в b0,b1,...,bn. Кроме этого в случае, если необходимо осуществить сравнительный анализ выше приведенных ф-ций подгонки, то, как видно будет далее, необходимо будет данный сравнительный анализ осуществлять с помощью статистических критериев. Поэтому это сравнение будет только тогда корректным, когда предварительно было также осуществлено обратное преобразование всех к-в b0,b1,...,bn.

В данном анализе множественная регрессия является расширением метода наименьших квадратов для простой (парной) линейной регрессии. Метод наименьших квадратов может быть быстро и точно применен для оценки коэффициентов регрессии. Анализ должен не только содержать значения всех параметров регрессионного уравнения, но также и проверочную информацию (статистические критерии), по которой можно судить о правильности выбранной модели.

Этап 4. РАСЧЕТ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

В данном расчете, во-первых, надо убедиться в наличии функциональной связи (линейной, нелинейной) между зависимой Y и независимыми переменными Xi.

Данная проверка осуществляется сопоставлением зависимой переменной Y с каждой из независимых переменных Xi. Для чего используют аналитические (построение функциональных зависимостей) и графические методы.

Если бы мы использовали данные временных рядов, то нам бы пришлось бы проверять их по каждой независимой переменной на линейность, организуя точки X, во времени. Если же какая-либо из переменных изменяется нелинейно, то необходимо применить соответствующее преобразование.

Для каждого исследуемого случая расположение точек на графике будет говорить о линейной или нелинейной связи независимых переменных Xi с зависимой переменной Y. Следовательно, мы можем применять множественную регрессию без какой-либо дальнейшей корректировки данных.

Кроме более или менее стандартной выводимой информации, нам необходима дополнительная информация, такая, как:

среднее и среднее квадратичное отклонение распределения каждой переменной,
вариационно-ковариационная матрица,
корреляционная матрица,
анализ отклонений.

Таким образом, мы получаем не только расчет регрессионного уравнения, но и информацию, и тестовую статистику, необходимые для проведения регрессионного анализа.

Этап 5. ЭКСПЕРИМЕНТЫ С РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛЬЮ

Существуют, по крайней мере, три различных способа анализа регрессионной модели.

Использование различных способов определения переменных. Например, количество затраченного труда может быть измерено путем определения количества персонала, затраченного рабочего времени или по выплаченной заработной плате.
Применение как линейной, так и нелинейной обработки информации.
Удаление или введение в регрессионное уравнение различных независимых переменных.

Для наблюдения последствий систематического введения в уравнение независимых переменных будем использовать пошаговый множественно-регрессионный анализ.

Алгоритм данного анализа следующий:

На вход подается набор независимых переменных.
Вначале отбираются независимые переменные, дающие наибольшее снижение необъяснимой вариации и выполняется расчет парной линейной, нелинейной регрессии и выбор лучшей формы функциональных зависимостей для подгонки парных статистических данных.
Затем выполняется анализ регрессии, последовательно добавляя в каждом цикле одну переменную, причем каждый раз добавляется та из оставшихся переменных, которая дает наибольшее снижение необъяснимой вариации.
Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет не будут включены все переменные из набора или пока ни одна из оставшихся переменных не будет давать сколько-нибудь значительного снижения необъяснимой вариации.

Тем не менее, очень важно иметь априорные экономические соображения о целесообразности включения в уравнение каждой независимой переменной. При этом необходимо учитывать, что сильная корреляция между зависимой переменной и некоторой определенной независимой переменной необязательно указывает на причину и следствие. Многие величины могут быть связаны через другую переменную.

Кроме того, нельзя недооценивать переменную, регрессионный коэффициент которой показывает ее статистическую не значимость. Если априори существуют экономические соображения о важности этой переменной, то ее лучше оставить в анализе. Отсутствие значимости или даже неправильный знак при переменной могут быть результатом эффекта мультиколлинеарности - сильной взаимосвязи различных переменных Xi.

Математические характеристики множественной регрессии таковы, что результаты анализа могут быть улучшены путем увеличения количества наблюдений. В некоторых случаях они также могут быть улучшены путем введения добавочных переменных.

Этап 6. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Результаты анализа могут быть интерпретированы следующим образом.

Регрессионная константа, b0, определяет положение регрессионной плоскости. Теоретически она представляет собой требуемое количество при условии, что все независимые переменные равны нулю. Но математически она может быть отрицательной. В экономике это невозможно. Также маловероятно, чтобы все переменные равнялись нулю. Следовательно, параметр b0 нередко не имеет реального экономического смысла.
Все остальные параметры, bi указывают направление и величину изменений зависимой переменной, Y, в результате увеличения на единицу соответствующей независимой переменной, Xi, при условии, что все остальные независимые переменные остаются постоянными.

ТЕСТИРОВАНИЕ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Задачами множественного регрессионного анализа являются получение надежной оценки параметров для независимых переменных на основе выборки, а также статистических выводов об этих параметрах, как индивидуальных, так и сгруппированных, и проверка правильности оценочного уравнения регрессии.

Программа, к сожалению, выполнит любой регрессионный анализ, данные для которого представлены в корректной форме, независимо от экономического смысла.

Таким образом, наша задача заключается в определении правильности применения расчетов для прогнозирования зависимой переменной.

Пригодность модели может быть определена путем ответа на два фундаментальных вопроса:

Имеют ли параметры регрессии правильный знак и разумные значения?
Насколько хорошо изменения Y объясняются изменениями независимых переменных Хi, как по отдельности, так и в совокупности?

Ответ на первый вопрос основан на экономической теории и на суждениях исследователя. Для того чтобы ответить на второй вопрос, необходимо провести определенные статистические тесты, оценивающие как отдельные параметры, так и модель в целом.

Этап 6. 1. ТЕСТИРОВАНИЕ ПРИГОДНОСТИ МОДЕЛИ

ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Каждый коэффициент регрессии представляет собой крайнее значение реакции переменной Y на единичное изменение соответствующей независимой переменной Xi. Знак параметра указывает направление изменения переменной Y по отношению к изменению независимой переменной Xi.

Положительный знак показывает, что, например, переменная спроса изменяется в том же направлении, что и независимая переменная; отрицательный - что эти переменные изменяются в противоположных направлениях.

Необходимо проверить знак параметра, чтобы определить, показывает ли он теоретически правильное относительное изменение переменных.

Если знак неверен, то это может говорить о том, что мы неправильно построили модель и/или упустили важную переменную. В некоторых случаях неверный знак сопутствует другим симптомам возникновения статистической проблемы, например, мультиколлинеарности.

ВЕЛИЧИНЫ ПАРАМЕТРОВ

Это проверка параметра на экономический смысл. Хотя и не существует общепринятых пределов, большинство экономистов субъективно ограничивают значения каждого параметра определенными рамками. Иногда параметр может принять такое значение, которое явно невозможно.

Этап 6. 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ И ОЦЕНКИ

ДАННЫЕ ТЕСТОВ

Для линейной, нелинейной регрессии необходимы статистические данные, с помощью которых можно ответить на следующие вопросы:

Насколько хорошо изменения независимых переменных Xi объясняют изменение зависимой переменной Y, как по отдельности, так и в целом?
Имеют ли независимые переменные Xi статистическую значимость. Иными словами, насколько надежными являются отдельные параметры при прогнозировании значений зависимой переменной?

В линейной, нелинейной регрессии в целом существуют следующие тесты:

Средняя квадратичная ошибка оценки для регрессии.
Множественный коэффициент детерминации, R2.
Скорректированный множественный коэффициент детерминации, или R2коррект;
F-статистика для оценки регрессии в целом;
T2-статистика (Хотеллинга) для оценки регрессии в целом;

Для параметров отдельных переменных существуют тесты на:

Среднюю квадратичную ошибку коэффициента регрессии,
t-тестирование для каждого коэффициента b0,b1,b2,...,bk.

Способы интерпретации и использования этих методов проверки рассмотрим более детально.

ОБЩИЕ ТЕСТЫ

МНОЖЕСТВЕННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ, R2

Множественная регрессия описывает регрессионную плоскость, а наблюдаемые точки (значения) лежат выше, ниже или на этой плоскости.

Множественный коэффициент детерминации является мерой того, насколько хорошо плоскость, описываемая регрессионным уравнением, удовлетворяет экспериментальным данным. При этом полная вариация переменной Y может быть разделена на две части:

Полная вариация (SST) = Объяснимая вариация (SSR) + Необъяснимая вариация (SSE)

Определения вариации и дисперсии в данном случае находятся в соответствии.

Вариация - это сумма квадратов отклонений собранных (наблюдаемых) значений от линии регрессии. Дисперсия - это арифметическое среднее вариации.

Множественный коэффициент детерминации R2, определяется как часть общего изменения переменной Y, относящаяся к изменениям всех вместе взятых независимых переменных X1, X2, X3, ..., Xk из наилучшего выбранного уравнения.

Этот коэффициент имеет исключительно математический смысл и не определяет никакой экономически обоснованной причинно-следственной связи.

Множественный коэффициент детерминации вычисляется по следующей формуле:

R2 = SSR / SST

или

R2 = (SST - SSE) / SST = 1 - SSE / SST = 1 - 610167,42/196466285,23 = 1,00

Это означает, что 99,69% изменений Y объясняется Xi взятых вместе и подставленных в наилучшее уравнение регрессии.

Величина R2 лежит в интервале от нуля до единицы.

Нулевое значение говорит о том, что между Y и всеми другими переменными не существует связи.
Значение R2=1 показывает, что все изменения Y объясняются одновременными изменениями независимых переменных.

Если вариация спроса полностью объяснима, то это должно означать, что все наблюденные точки лежат на плоскости регрессии (на линии для 2-х мерного варианта) с нулевыми отклонениями.

Следовательно, SST=SSR и SSE =0.

Для эмпирического анализа нет ничего необычного в том, чтобы получить высокий R2 при статистически незначимых или имеющих бессмысленный знак коэффициентах регрессии. Более того, одним из свойств метода наименьших квадратов для множественной регрессии является то, что при добавлении еще одной независимой переменной может произойти не снижение, а, наоборот, повышение R2 вне зависимости от того, связана ли введенная переменная с Y или нет.

По этой причине может возникнуть желание (с целью достичь более высокого значения R2) ввести как можно больше переменных. Однако с этим желанием надо бороться, так как немного можно сказать о модели, которая включает переменные, не имеющие теоретического обоснования. Мы должны помнить, что нашей целью является разработка надежных истинных экономически интерпретируемых оценок групповых параметров, а не получение высокого R2.

Скорректированный множественный коэффициент детерминации, или R2коррект.

Еще одной характеристикой R2 является его чувствительность к количеству наблюдений, входящих в регрессию.

Если количество наблюдений равно количеству независимых переменных, то каждая точка наблюдений будет лежать точно на регрессионной плоскости и расчетное значение будет равно наблюденному значению Y. Тогда R2=1, однако, это говорит скорее о недостатке информации, чем о благоприятном совпадении.

Чтобы получить информативные результаты, мы должны иметь количество наблюдений, достаточное для того, чтобы переменная спроса имела некоторую свободу изменений, т.е. число степеней свободы должно быть больше нуля. Термин 'степени свободы' (или df) означает, что если нам известно n-1 членов суммы, то i-й член определяется автоматически. Например, если мы знаем, что сумма 5 членов есть 15 и знаем, что первые четыре члена - это 1, 2, 3 и 4, сумма которых дает 10, то пятый член обязательно должен быть 5. Он не может быть чем-либо другим, следовательно df=(5-1)=4.

Если в регрессионное уравнение входит k независимых переменных Xk, то мы имеем k параметров b1,b2,...,bk, т.е. по коэффициенту на каждую независимую переменную плюс 1 для учета b0 (свободного к-та при Х0=1), если он есть. Т.о. для Xk => X1,X2,...,Xk => k=1,2,...,k, т.е. k=k, а с учетом свободного к-та Xk => X0,X1,X2,...,Xk => k=0,1,2,...,k, т.е. k=k+1

Для определения каждого параметра требуется, по крайней мере, одно наблюдение, и на каждый параметр теряется одна степень свободы. Если мы имеем n наблюдений, то число степеней свободы составляет df=n-k-1.

Если количество наблюдений равняется количеству переменных (Y и Xk), то df=0, a R2=1,0. Следовательно, зависимая переменная не имеет пространства для изменений. Можно сказать, что R2 стремится к 1 так же, как df стремится к 0.

Для того чтобы уделить должное внимание степеням свободы, определяемым количеством наблюдений и количеством параметров, статистики ввели скорректированный (истинный) множественный коэффициент детерминации, R2коррект. Его формула имеет следующий вид:

R2коррект = R2 - (1 - R2)*(k / (n - k - 1))

где n - количество наблюдений,
k - количество варьирующих переменных Хk. Для учета переменной Y введен минус 1.

В нашем случае:

R2коррект = 0,994675924723239

Каковы приемлемые значения для R2коррект? Это, в основном, дело индивидуальных соображений, и соображения эти меняются в зависимости от исследуемого объекта. Например, кросс-секционный анализ, рассматривающий демографические связи, имеет тенденцию занижать уровень R2коррект. по сравнению с методом временных рядов, работающим с ретроспективными связями.

Обычно если количество наблюдений, по крайней мере, в три или четыре раза больше количества независимых переменных, то приемлемым считается R2>0,75.

СТАНДАРТНАЯ ОШИБКА ОЦЕНКИ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, DX

Когда исследователь изучает одномерные эконометрические параметры, то первое, что он вычисляет это первый момент - среднее изучаемого параметра - МХ, а величина среднего разброса данных относительно средней есть дисперсия DX=1/(n-1)*Sum(Xi-MX) или среднеквадратичное отклонение SX=DX^0.5.

Данный подход и оценки, характерные для одномерной статистики, полностью переносится и на многомерный статистический анализ и, в частности, на регрессионный анализ. Например, при двух переменных, каждая из которых представлена в векторной форме Y, X, роль средней (МХ) выполняет кривая, в частном случае прямая линия. Она так проведена между всеми i-ми точками (Yi, Xi) статистических данных, что все они в среднем находятся на минимальном расстоянии от построенной регрессионной линии.

Эти средние отклонения (разброс) точек относительно линии и есть ничто иное, как величина среднего разброса данных относительно средней (линии) есть дисперсия DX или среднеквадратичное отклонение DX^0.5.

Чтобы не вносить путаницу для многомерной статистики данная статистика DX^0.5 называется стандартной ошибкой оценки, построенной регрессионной зависимости. Во множественном регрессионном анализе эту линию можно естественно представить только в виде гиперпространства (n-мерного пространства).

Наряду c прочими свойствами стандартная ошибка оценки представляет собой показатель точности подбора линии выборочной регрессии, к выборочным значениям исходных статистических данных Y. Так как по мере приближения линии выборочной регрессии к истинной линии регрессии, то и как следствие квадрат ошибки, представленной в векторной форме - e'e, будет стремиться к нулю.

Напомним, что в векторной форме ошибка e или степень невязки регрессионной кривой, которую можно представить в виде векторного произведения - bX, относительно исходным статистическим выборочным данным вектора зависимой переменной Y можно представить в виде e=Y-bX. Вполне естественно, что в этом случае несмещенная дисперсия будет равна DX=e'e/(n-k-1), где (n-k-1) степень свободы, а стандартная ошибка оценки эконометрической модели это корень квадратный от SX=DX^0.5, как в одномерной статистике

В нашем исследовании DX равно:

DX=e'e/(n-k-1)=610167,420283/(13-5-1)=87166,774326

Таким образом, стандартная ошибка оценки построенной эконометрической модели равна: SX=DX^0.5=295,240198

Учитывая, что дисперсия генеральной совокупности DX обычно неизвестна и традиционно оценивается по выборке, поэтому стандартные ошибки Sb коэффициентов bi можно вычислить с помощью ковариационной матрицы (X'X)^(-1) векторной оценки bi. Матрица стандартных ошибок будет равна Sb=DX*(X'X)^(-1)

Квадратные корни из элементов главной диагонали матрицы Sb обычно и называют стандартными ошибками Sbi коэффициентов bi. В нашем случае они будут равны:

Sb0=0,331 Sb1=0,0105 Sb2=0,0147 Sb3=0,0126 Sb4=0,0151 Sb5=0,0236

Обсудив оценивание ошибок ковариационной матрицы вектора b, и получив коэффициенты bi (их математическое ожидание), обратимся теперь к выборочному распределению.

Ранее отмечалось, что вектор b=(X'X)^(-1)*X'Y.

Так как (X'X)^(-1)*X' предполагается постоянной, вектор b представляет собой линейную функцию вектора Y. И поскольку мы предполагаем, что вектор Y имеет нормальное распределение, то и b будет иметь нормальное распределение. Этот вывод - следствие того, что линейные функции нормально распределенных переменных также распределены нормально. Однако, так как обычно ковариационная матрица b неизвестна и предполагается, что b подчиняется распределению Стьюдента, которым мы в дальнейшем и будем пользоваться для проверки гипотез.

Где bi-некоторый коэффициент регрессии генеральной совокупности, Для проверки данной нулевой гипотезы Н0: bi=b0i,

Где bi-некоторый коэффициент регрессии генеральной совокупности, a b0i-предполагаемое значение этого коэффициента в генеральной совокупности. Воспользуемся статистикой:

t=(bi-b0i)/sqr(Sbii)

Дисперсия Sbii представляет собой i-й диагональный элемент матрицы Sb (ошибок bi), а квадратный корень из Sbii - это стандартная ошибка коэффициента bi. Эту нулевую гипотезу можно проверить по отношению к некоторой односторонней или двусторонней альтернативной гипотезе. Статистика t=(bi-b0i)/sqr(Sbii) подчиняется t-распределению c v=n-К-1 степенями свободы.

Значительный интерес представляет проверка гипотезы о том, что коэффициент bi, в т.ч. и b0, равен нулю в генеральной совокупности. Просто нами в процессе формирования экономических априорных предположений была допущена грубая ошибка, в результате которой в эконометрическую модель была включена незначимая предикторная переменная Xi реально не влияющая на исследуемые экономические процессы. В результате если благодаря данному критерию установлено, что угловой коэффициент bi не отличается существенно от нуля, то соответствующая этому коэффициенту переменная Xi не вносит статистически значимого вклада в уравнение регрессии, т.к. реально не влияет на исследуемые в модели экономические процессы. Иногда, в ряде случаев, нас интересует проверка гипотезы о том, что угловой коэффициент равен 'некоторой константе', отличной от нуля. Данная гипотеза также опирается на предположении, что эта 'некоторая константа' соответствует средней величине коэффициента bi при переменной Xi в генеральной совокупности.

NB. Внимание, этот метод проверки заслуживает доверия лишь в ситуациях, когда участвующие в регрессионной модели предсказывающие переменные Xi взаимно не коррелированны (или достаточно слабо взаимно коррелированны). Действительно, в моделях множественной регрессии c взаимно коррелированными предсказывающими переменными вполне реальны ситуации, когда проверка, основанная на t=(bi-b0i)/sqr(Sbii), свидетельствует о том, что все bi статистически незначимо отличаются от нуля, в то время как на самом деле все предсказывающие переменные существенно влияют на функцию регрессии.

Поэтому в общем случае, и в первую очередь в ситуациях, характеризующихся мультиколлинеарностью, т.е. высокой взаимозависимостью предсказывающих переменных Xi, более эффективен метод, основанный на последовательном пересчете и сравнении значений множественного коэффициента корреляции. Он рассчитывается для различных вариантов комбинаций предсказывающих переменных, включаемых в модель. Он взят в основу большинства алгоритмов так называемой пошаговой регрессии.

Сокращенный текст анализ по функции/функционалу - G1

Для дальнейшего анализа введем следующие сокращенные обозначения для функции и всех переменных.
Функция Y: G1.
Переменная X1: Farms.
Переменная X2: Forestry.
Переменная X3: Mining.
Переменная X4: Utilities.
Переменная X5: Construction.

	5	G1_1	G1_2	G1_3	G1_4	G1_5
	G1	Farms	Forestry	Mining	Utilities	Construction
1998	37638	923	27774	775	6489	1677
1999	41284	843	30629	557	7797	1458
2000	36442	568	23566	492	10438	1378
2001	38261	639	22938	404	13101	1179
2002	36063	629	23802	742	9498	1392
2003	35986	578	22600	918	10402	1488
2004	39079	612	26626	967	9426	1448
2005	44011	592	29916	864	11082	1557
2006	42109	254	28214	993	10875	1773
2007	37740	373	23000	1019	11319	2029
2008	37616	416	20996	1093	12979	2132
2009	30210	361	18227	1133	8662	1827
2010	29962	496	17805	1003	8706	1952

Дескриптивный, описательный анализ данных

Исходные данные могут быть охарактеризованы простейшими средствами описательной статистики. Они позволяют получить представление об особенностях исследуемого показателя и перспективности использования более глубоких методов анализа.

Далее будет представлена дескриптивная статистика по всем переменным Y,X1,...,X5 по следующим показателям:

Мх - среднее значение, ErrMX - стандартная ошибка относительно среднего, Sx - среднеквадратическое отклонение, Var - вариация Var=Sx/Mx, Me - медианана, середина выборки, Ex - эксцесс относительная остроконечность (Ex>0) или сглаженность распределения (Ex<0, предел Ex>=-2), As - асимметрия степень несимметричности распределения относительно MX, Min - минимальное число в выборке, Max - максимальное число в выборке, Inter - интервал разница между Max-Min, Sum - Сумма всех чисел в выборке.

Отметим интересный момент, связанный с функцией распределения. Функция симметрична при условии: Мх=Мe=Mо, показатель Ass=0, а эксцесс Ex=0. При Mо<Мe<Мх, то имеет место правосторонняя асимметрия, она положительна, т.к. Мх-Me>0. График функции распределения ее экстремум - Mo, смещен влево относительно Мх. При Мх<Мe<Mо, то имеет место левосторонняя асимметрия, она отрицательна, т.к. Мх-Me<0. График функции распределения ее экстремум - Mo, смещен вправо относительно Мх. Анализируя Me & Mx или знак Ass можно, например, для Мх<Мe утверждать, что у более половины Xi преобладают большие величины.

Функция Y:

Mx=37415; ErrMX=1122; Sx=4046; Var=0.108; Me=37638; Ex=0.394; As=-0.507; Min=29962; Max=44011; Inter=14049; Sum=486401;

График функции распределения ее экстремум - Mo, смещен вправо относительно Мх. Имеет место левосторонняя асимметрия, она отрицательна, т.к. Мх-Me<0 При условии Ме>Мх можно утверждать, что у более половины Xi преобладают большие величины.

Переменная X1:

Mx=560.31; ErrMX=51.89; Sx=187.09; Var=0.334; Me=578.00; Ex=0.104; As=0.373; Min=254.00; Max=923.00; Inter=669.00; Sum=7284;

Переменная X2:

Mx=24315; ErrMX=1137; Sx=4099; Var=0.169; Me=23566; Ex=-0.858; As=-0.0115; Min=17805; Max=30629; Inter=12824; Sum=316093;

График функции распределения ее экстремум - Mo, смещен влево относительно Мх. Имеет место правосторонняя асимметрия, она положительна, т.к. Мх-Me>0. При условии Мх>Мe можно утверждать, что у более половины Xi преобладают меньшие величины.

Переменная X3:

Mx=843.08; ErrMX=65.03; Sx=234.46; Var=0.278; Me=918.00; Ex=-0.618; As=-0.745; Min=404.00; Max=1133; Inter=729.00; Sum=10960;

Переменная X4:

Mx=10060; ErrMX=529.28; Sx=1908; Var=0.190; Me=10402; Ex=-0.200; As=-0.0853; Min=6489; Max=13101; Inter=6612; Sum=130774;

Переменная X5:

Mx=1638; ErrMX=79.56; Sx=286.84; Var=0.175; Me=1557; Ex=-0.875; As=0.316; Min=1179; Max=2132; Inter=953.00; Sum=21290;

G1	G1_1	G1_2	G1_3	G1_4	G1_5
	Farms	Forestry	Mining	Utilities	Construction
1998	2.5%	73.8%	2.1%	17.2%	4.5%
1999	2.0%	74.2%	1.3%	18.9%	3.5%
2000	1.6%	64.7%	1.4%	28.6%	3.8%
2001	1.7%	60.0%	1.1%	34.2%	3.1%
2002	1.7%	66.0%	2.1%	26.3%	3.9%
2003	1.6%	62.8%	2.6%	28.9%	4.1%
2004	1.6%	68.1%	2.5%	24.1%	3.7%
2005	1.3%	68.0%	2.0%	25.2%	3.5%
2006	0.6%	67.0%	2.4%	25.8%	4.2%
2007	1.0%	60.9%	2.7%	30.0%	5.4%
2008	1.1%	55.8%	2.9%	34.5%	5.7%
2009	1.2%	60.3%	3.8%	28.7%	6.0%
2010	1.7%	59.4%	3.3%	29.1%	6.5%
MX	0.015	0.647	0.023	0.270	0.045

Данную таблицу можно представить в виде линейной эконометрической зависимости:

G1=18863+0,015G1_1+0,647G1_2+0,023G1_3+0,270G1_4+0,045*G1_5

Анализ регрессионного уравнения

Y=1.8298X1^0.0269X2^0.6566(X3^-0.0042)X4^0.2593*X5^0.1046

Beta	Sb	Tstudent	Tкрит	R2	SeY	Fнабл	Fкрит	ST	SE
1.830	0.331	1.828	1.895	0.997	295.2	449.3825	3.865969	196466285	610167.4
0.027	0.011	2.558
0.657	0.015	44.618
-0.004	0.013	0.338
0.259	0.015	17.167
0.105	0.024	4.436
Determinant	0.000
1.000	0.198	0.896	-0.285	0.255	-0.285
0.198	1.000	0.469	-0.616	-0.529	-0.544
0.896	0.469	1.000	-0.358	-0.192	-0.390
-0.285	-0.616	-0.358	1.000	-0.019	0.802
0.255	-0.529	-0.192	-0.019	1.000	0.039

Проведенный корреляционный анализ массива Y и X1... Х5 не подтвердил правильность выбора Y. Проведенный анализ предполагает, что зависимая переменная Y расположена не в 1 колонке, а в колонке - 2. Эта переменная обозначена как: Farms. Это можно объяснить неправильным выбором Y, или тем фактом, что некоторые участвующие в регрессионной модели предсказывающие переменные Х1,...,Х5 взаимно коррелированны (взаимосвязаны и влияют друг на друга), т.е. они по-настоящему не являются независимыми переменными.

Стандартная ошибка - Se или стандартное отклонение остатков или среднеквадратичное отклонение данный критерий осуществляет оценку уравнения регрессии. Она должна принимать минимальное значение. В многомерной эконометрике этот критерий еще называют стандартной оценкой ошибки, который является многомерным аналогом одномерной статистики ее параметра - дисперсии, или среднеквадратичного отклонения точек относительно средней линии, выбранной для подгонки исследуемой функциональной зависимости Y=F(Х1,..,Х5).

Se для исследуемого регрессионного уравнения составила Se=Sqr(e'e/(n-k-1))=295.24.

Где e'e-векторное произведение ошибки точности уравнения регрессии или сумма квадратов остатков исходного значения Y и Y на линии регрессии для исходных значений Х1,..,Х5.

Данный многомерный критерий является прямым 'родственником', аналогом одномерной статистики - среднеквадратичного отклонения и дисперсии. Поэтому многие из рассмотренных ниже критериев оценки опираются на него.

В исследовании коэффициент детерминации R2, который представляет ту долю общей вариации зависимой переменной, которую объясняет выбранная нами для подгонки регрессия, составил R2 = 0.997. А множественный приведенный коэффициент детерминации R2коррект, с учетом степеней свободы, составил R2коррект=0.995. Это указывает на очень сильную зависимость между независимыми переменными Хi и зависимой переменной Y.

Применим F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат случайным.

Предположим, что на самом деле нет взаимосвязи между переменными, а просто были выбраны 13 редких данных, для которых статистический анализ вывел очень сильную взаимозависимость. Величина alfa = 0.05 используется для обозначения вероятности ошибочного вывода о том, что мы имеем очень сильную взаимозависимость.

Если F-наблюдаемое больше, чем F-критическое, то взаимосвязь между переменными X и Y имеется.

Используя односторонний тест. F-наблюдаемое равно 449.38, что больше, чем F-критическое значение 3.866. Следовательно, полученное регрессионное уравнение можно использовать для предсказания величины Y.

Определим, полезен ли каждый коэффициент наклона bi при Хi для оценки Y.

Для проверки статистической значимости (надежности) коэффициентов при Х, разделим каждый коэффициент на его стандартную ошибку Sbi. Эту величину будем рассматривать по абсолютной величине. Далее сравним полученные значения с t критическим = 1.895 (Критерий Student-а).

На практике только что описанную проверку можно выполнить очень быстро, обратив внимание на следующее простое правило.

Если предполагаемая величина углового коэффициента bi равна нулю (в генеральной совокупности), то статистику t можно записать в виде отношения оценки углового коэффициента bi к оценке его стандартной ошибки Sbi. Когда v>5 критическое значение t всегда менее 2,0 на уровне значимости 5%. Поскольку в экономических применениях регрессионного анализа степени свободы - v почти всегда больше 5,т.e. v=(n-K-1)>5, то мы пользуемся этим простым правилом для отбрасывания нулевой гипотезы, которая предполагает, что в генеральной совокупности исследуемый параметр Xi и его влияние на Y незначимо, поэтому очевидно, что коэффициент bi при Xi должен быть равен нулю. Поэтому если абсолютное значение выборочного углового коэффициента bi более чем в 2 раза превышает его стандартную ошибку Sbi, то можно отбросить нулевую гипотезу и статистически достоверно утверждать, что в генеральной совокупности исследуемый параметр Xi и его влияние на Y значимо и поэтому коэффициент bi при Xi не равен нулю и более чем в 2 раза превышает свою стандартную ошибку Sbi.

Для проверки достоверности различий векторов средних в многомерном анализе осуществляют при помощи так называемого Т2 - критерия Хотеллинга, похожего по конструкции на свой одномерный анализ t-критерий Student-а.

Ниже приводятся полученные результаты:

X0 b0 = 1.830 Sb0 = 0.331 T0наб. = 1.828 Исследовать

X1 b1 = 0.0269 Sb1 = 0.0105 T1наб. = 2.558 Значим.

X2 b2 = 0.657 Sb2 = 0.0147 T2наб. = 44.62 Значим.

X3 b3 = -0.0042 Sb3 = 0.0126 T3наб. = 0.338 Исследовать

X4 b4 = 0.259 Sb4 = 0.0151 T4наб. = 17.17 Значим.

X5 b5 = 0.105 Sb5 = 0.0236 T5наб. = 4.436 Значим.

Сокращенный текст анализ по функции/функционалу - G2.

Для дальнейшего анализа введем следующие сокращенные обозначения для функции и всех переменных.
Функция Y: G2.
Переменная X1: Wood products.
Переменная X2: Nonmetallic mineral products.
Переменная X3: Primary metals.
Переменная X4: Fabricated metal products.
Переменная X5: Machinery.
Переменная X6: Computer and electronic products.
Переменная X7: Electrical equipment, appliances, and components.
Переменная X8: Motor vehicles&Other transportation.

	8	G2_1	G2_2	G2_3	G2_4	G2_5	G2_6	G2_7	G2_8
	G2	Wood products	Nonmetallic mineral products	Primary metals	Fabricated metal products	Machinery	Computer and electronic products	Electrical equipment, appliances, and components	Motor vehicles&Other transportation
1998	38082	24492	1342	483	4347	1814	3498	1270	836
1999	39730	26673	1420	394	4205	1722	3221	1182	913
2000	38444	25660	1248	414	4290	1606	3369	965	892
2001	33970	22940	1080	331	4032	1658	2385	742	802
2002	33465	22327	1123	332	4283	1421	2398	752	829
2003	33378	22896	1073	313	4032	1367	2365	679	653
2004	39574	27682	1231	466	4333	1534	2647	881	800
2005	41842	28612	1327	485	4730	1770	2984	1040	894
2006	42200	28396	1432	571	5097	1774	2917	1168	845
2007	38654	24506	1344	503	5708	1950	2279	1316	1048
2008	34339	20196	1193	565	5995	1984	2522	1167	717
2009	23039	13711	695	343	3744	1447	1948	734	417
2010	25299	14319	713	429	4029	1664	2882	753	510

Дескриптивный, описательный анализ данных.

Далее будет представлена дескриптивная статистика по всем переменным Y,X1,...,X8 по следующим показателям:

Мх - среднее значение, ErrMX - стандартная ошибка относительно среднего, Sx - среднеквадратическое отклонение, Var - вариация Var=Sx/Mx, Me - медианана, середина выборки, Ex - эксцесс относительная остроконечность (Ex>0) или сглаженность распределения (Ex<0, предел Ex>=-2), As - асимметрия степень несимметричности распределения относительно MX, Min - минимальное число в выборке, Max - максимальное число в выборке, Inter - интервал разница между Max-Min, Sum - Сумма всех чисел в выборке.

Отметим интересный момент, связанный с функцией распределения. Функция симметрична при условии: Мх=Мe=Mо, показатель Ass=0, а эксцесс Ex=0. При Mо<Мe<Мх, то имеет место правосторонняя асимметрия, она положительна, т.к. Мх-Me>0. График функции распределения ее экстремум - Mo, смещен влево относительно Мх. При Мх<Мe<Mо, то имеет место левосторонняя асимметрия, она отрицательна, т.к. Мх-Me<0. График функции распределения ее экстремум - Mo, смещен вправо относительно Мх. Анализируя Me & Mx или знак Ass можно, например, для Мх<Мe утверждать, что у более половины Xi преобладают большие величины.

Функция Y:

Mx=35540; ErrMX=1634; Sx=5892; Var=0.166; Me=38082; Ex=0.626; As=-1.106; Min=23039; Max=42200; Inter=19161; Sum=462016;

Переменная X1:

Mx=23262; ErrMX=1332; Sx=4802; Var=0.206; Me=24492; Ex=0.450; As=-1.054; Min=13711; Max=28612; Inter=14901; Sum=302410;

Переменная X2:

Mx=1171; ErrMX=66.03; Sx=238.08; Var=0.203; Me=1231; Ex=0.634; As=-1.150; Min=695.00; Max=1432; Inter=737.00; Sum=15221;

Переменная X3:

Mx=433.00; ErrMX=24.37; Sx=87.87; Var=0.203; Me=429.00; Ex=-1.169; As=0.139; Min=313.00; Max=571.00; Inter=258.00; Sum=5629;

Переменная X4:

Mx=4525; ErrMX=188.73; Sx=680.47; Var=0.150; Me=4290; Ex=0.772; As=1.287; Min=3744; Max=5995; Inter=2251; Sum=58825;

Переменная X5:

Mx=1670; ErrMX=53.56; Sx=193.12; Var=0.116; Me=1664; Ex=-0.793; As=0.0128; Min=1367; Max=1984; Inter=617.00; Sum=21711;

Переменная X6:

Mx=2724; ErrMX=128.82; Sx=464.48; Var=0.171; Me=2647; Ex=-0.835; As=0.194; Min=1948; Max=3498; Inter=1550; Sum=35415;

Переменная X7:

Mx=973.00; ErrMX=63.67; Sx=229.56; Var=0.236; Me=965.00; Ex=-1.703; As=0.139; Min=679.00; Max=1316; Inter=637.00; Sum=12649;

Переменная X8:

Mx=781.23; ErrMX=47.40; Sx=170.89; Var=0.219; Me=829.00; Ex=0.762; As=-0.908; Min=417.00; Max=1048; Inter=631.00; Sum=10156;

G2	G2_1	G2_2	G2_3	G2_4	G2_5	G2_6	G2_7	G2_8
	Wood products	Nonmetallic mineral products	Primary metals	Fabricated metal products	Machinery	Computer and electronic products	Electrical equipment, appliances, and components	Motor vehicles&Other transportation
1998	64.3%	3.5%	1.3%	11.4%	4.8%	9.2%	3.3%	2.2%
1999	67.1%	3.6%	1.0%	10.6%	4.3%	8.1%	3.0%	2.3%
2000	66.7%	3.2%	1.1%	11.2%	4.2%	8.8%	2.5%	2.3%
2001	67.5%	3.2%	1.0%	11.9%	4.9%	7.0%	2.2%	2.4%
2002	66.7%	3.4%	1.0%	12.8%	4.2%	7.2%	2.2%	2.5%
2003	68.6%	3.2%	0.9%	12.1%	4.1%	7.1%	2.0%	2.0%
2004	69.9%	3.1%	1.2%	10.9%	3.9%	6.7%	2.2%	2.0%
2005	68.4%	3.2%	1.2%	11.3%	4.2%	7.1%	2.5%	2.1%
2006	67.3%	3.4%	1.4%	12.1%	4.2%	6.9%	2.8%	2.0%
2007	63.4%	3.5%	1.3%	14.8%	5.0%	5.9%	3.4%	2.7%
2008	58.8%	3.5%	1.6%	17.5%	5.8%	7.3%	3.4%	2.1%
2009	59.5%	3.0%	1.5%	16.3%	6.3%	8.5%	3.2%	1.8%
2010	56.6%	2.8%	1.7%	15.9%	6.6%	11.4%	3.0%	2.0%
MX	0.650	0.033	0.012	0.130	0.048	0.078	0.027	0.022

Данную таблицу можно представить в виде линейной эконометрической зависимости:

G2=19453+0,650G2_1+0,033G2_2+0,012G2_3+0,130G2_4+0,048G2_5+0,078G2_6+0,027G2_7+0,022G2_8

Анализ регрессионного уравнения.

Y=3.0815X1^0.6500X2^0.0069X3^0.0143X4^0.1503X5^0.0533X6^0.0899X7^0.0256X8^0.0209

Beta	Sb	Tstudent	Tкрит	R2	SeY	Fнабл	Fкрит	ST	SE
3.082	0.325	3.459	2.132	1.000	126.8	3238	6.00	416532287	64310
0.650	0.037	17.559
0.007	0.045	0.153
0.014	0.024	0.600
0.150	0.034	4.482
0.053	0.023	2.317
0.090	0.013	6.920
0.026	0.021	1.210
0.021	0.015	1.402
Determinant	1.71E-21
1.000	0.978	0.967	0.506	0.436	0.418	0.532	0.646	0.878
0.978	1.000	0.917	0.348	0.274	0.232	0.480	0.490	0.835
0.967	0.917	1.000	0.514	0.505	0.497	0.519	0.757	0.895
0.506	0.348	0.514	1.000	0.800	0.812	0.340	0.774	0.351
0.436	0.274	0.505	0.800	1.000	0.802	-0.038	0.706	0.473
0.418	0.232	0.497	0.812	0.802	1.000	0.307	0.850	0.472
0.532	0.480	0.519	0.340	-0.038	0.307	1.000	0.473	0.396
0.646	0.490	0.757	0.774	0.706	0.850	0.473	1.000	0.657
0.878	0.835	0.895	0.351	0.473	0.472	0.396	0.657	1.000

Проведенный корреляционный анализ массива Y и X1... Х8 не подтвердил правильность выбора Y. Проведенный анализ предполагает, что зависимая переменная Y расположена не в 1 колонке, а в колонке - 3. Эта переменная обозначена как: Nonmetallic mineral products. Это можно объяснить неправильным выбором Y, или тем фактом, что некоторые участвующие в регрессионной модели предсказывающие переменные Х1,...,Х8 взаимно коррелированны (взаимосвязаны и влияют друг на друга), т.е. они по-настоящему не являются независимыми переменными.

Se для исследуемого регрессионного уравнения составила Se=Sqr(e'e/(n-k-1))=126.80.

Где e'e-векторное произведение ошибки точности уравнения регрессии или сумма квадратов остатков исходного значения Y и Y на линии регрессии для исходных значений Х1,..,Х8.

Данный многомерный критерий является прямым 'родственником', аналогом одномерной статистики - среднеквадратичного отклонения и дисперсии. Поэтому многие из рассмотренных ниже критериев оценки опираются на него.

В исследовании коэффициент детерминации R2, который представляет ту долю общей вариации зависимой переменной, которую объясняет выбранная нами для подгонки регрессия, составил R2 = 1.000. А множественный приведенный коэффициент детерминации R2коррект, с учетом степеней свободы, составил R2коррект=1.000. Это указывает на очень сильную зависимость между независимыми переменными Хi и зависимой переменной Y.

Применим F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат случайным.

Если F-наблюдаемое больше, чем F-критическое, то взаимосвязь между переменными X и Y имеется.

Используя односторонний тест. F-наблюдаемое равно 3238, что больше , чем F-критическое значение 5.999. Следовательно, полученное регрессионное уравнение можно использовать для предсказания величины Y.

Определим, полезен ли каждый коэффициент наклона bi при Хi для оценки Y.

На практике только что описанную проверку можно выполнить очень быстро, обратив внимание на следующее простое правило. Если предполагаемая величина углового коэффициента bi равна нулю (в генеральной совокупности), то статистику t можно записать в виде отношения оценки углового коэффициента bi к оценке его стандартной ошибки Sbi. Когда v>5 критическое значение t всегда менее 2,0 на уровне значимости 5%. Поскольку в экономических применениях регрессионного анализа степени свободы - v почти всегда больше 5,т.e. v=(n-K-1)>5, то мы пользуемся этим простым правилом для отбрасывания нулевой гипотезы, котрая предполагает, что в генеральной совокупности исследуемый параметр Xi и его влияние на Y незначимо, поэтому очевидно, что коэффициент bi при Xi должен быть равен нулю. Поэтому если абсолютное значение выборочного углового коэффициента bi более чем в 2 раза превышает его стандартную ошибку Sbi, то можно отбросить нулевую гипотезу и статистически достоверно утверждать, что в генеральной совокупности исследуемый параметр Xi и его влияние на Y значимо и поэтому коэффициент bi при Xi не равен нулю и более чем в 2 раза превышает свою стандартную ошибку Sbi.

Ниже приводятся полученные результаты:

X0 b0 = 3.082 Sb0 = 0.325 T0наб. = 3.459 Значим.

X1 b1 = 0.650 Sb1 = 0.0370 T1наб. = 17.56 Значим.

X2 b2 = 0.0069 Sb2 = 0.0450 T2наб. = 0.153 Исследовать

X3 b3 = 0.0143 Sb3 = 0.0239 T3наб. = 0.600 Исследовать

X4 b4 = 0.150 Sb4 = 0.0335 T4наб. = 4.482 Значим.

X5 b5 = 0.0533 Sb5 = 0.0230 T5наб. = 2.317 Значим.

X6 b6 = 0.0899 Sb6 = 0.0130 T6наб. = 6.920 Значим.

X7 b7 = 0.0256 Sb7 = 0.0211 T7наб. = 1.210 Исследовать

X8 b8 = 0.0209 Sb8 = 0.0149 T8наб. = 1.402 Исследовать

Сокращенный текст анализ по функции/функционалу - G3

Для дальнейшего анализа введем следующие сокращенные обозначения для функции и всех переменных.
Функция Y: G3.
Переменная X1: Furniture&Miscellaneous.
Переменная X2: Food and beverage and tobacco products.
Переменная X3: Textile mills and textile product mills.
Переменная X4: Paper & Printing.
Переменная X5: Petroleum and coal products.
Переменная X6: Chemical products.
Переменная X7: Plastics and rubber products.

	7	G3_1	G3_2	G3_3	G3_4	G3_5	G3_6
	G3	Furniture & Miscellaneous	Food and beverage and tobacco products	Textile mills and textile product mills	Paper & Printing	Petroleum and coal products	Chemical products
1998	57027	1073	730	2833	36050	837	12454
1999	55342	1018	665	2669	35749	1068	11292
2000	57924	467	638	2632	38124	1669	11546
2001	54022	261	664	2339	35323	1390	11275
2002	52985	291	726	2278	33565	1647	11458
2003	53188	252	848	2012	33103	2075	11936
2004	55483	262	772	2238	33677	3077	12503
2005	60182	291	766	2522	34835	4555	13906
2006	61048	295	698	2550	36224	4440	13469
2007	66688	267	805	3093	38133	4899	15742
2008	71647	200	950	3374	39062	6057	18219
2009	55133	189	801	3092	32570	2901	12789
2010	64124	92	801	3697	36045	4855	15637

Дескриптивный, описательный анализ данных

Далее будет представлена дескриптивная статистика по всем переменным Y,X1,...,X7 по следующим показателям:

Функция Y:

Mx=58830; ErrMX=1583; Sx=5708; Var=0.0970; Me=57027; Ex=0.591; As=1.125; Min=52985; Max=71647; Inter=18662; Sum=764793;

Переменная X1:

Mx=381.38; ErrMX=84.99; Sx=306.45; Var=0.804; Me=267.00; Ex=2.383; As=1.858; Min=92.00; Max=1073; Inter=981.00; Sum=4958;

Переменная X2:

Mx=758.77; ErrMX=23.81; Sx=85.84; Var=0.113; Me=766.00; Ex=0.639; As=0.660; Min=638.00; Max=950.00; Inter=312.00; Sum=9864;

Переменная X3:

Mx=2718; ErrMX=134.57; Sx=485.20; Var=0.179; Me=2632; Ex=-0.180; As=0.617; Min=2012; Max=3697; Inter=1685; Sum=35329;

Переменная X4:

Mx=35574; ErrMX=563.26; Sx=2031; Var=0.0571; Me=35749; Ex=-0.833; As=0.220; Min=32570; Max=39062; Inter=6492; Sum=462460;

Переменная X5:

Mx=3036; ErrMX=482.67; Sx=1740; Var=0.573; Me=2901; Ex=-1.383; As=0.326; Min=837.00; Max=6057; Inter=5220; Sum=39470;

Переменная X6:

Mx=13248; ErrMX=588.66; Sx=2122; Var=0.160; Me=12503; Ex=1.061; As=1.269; Min=11275; Max=18219; Inter=6944; Sum=172226;

Переменная X7:

Mx=3114; ErrMX=94.06; Sx=339.15; Var=0.109; Me=2997; Ex=0.292; As=1.174; Min=2770; Max=3785; Inter=1015; Sum=40486;

G3	G3_1	G3_2	G3_3	G3_4	G3_5	G3_6	G3_7
	Furniture & Miscellaneous	Food and beverage and tobacco products	Textile mills and textile product mills	Paper & Printing	Petroleum and coal products	Chemical products	Plastics and rubber products
1998	1.9%	1.3%	5.0%	63.2%	1.5%	21.8%	5.3%
1999	1.8%	1.2%	4.8%	64.6%	1.9%	20.4%	5.2%
2000	0.8%	1.1%	4.5%	65.8%	2.9%	19.9%	4.9%
2001	0.5%	1.2%	4.3%	65.4%	2.6%	20.9%	5.1%
2002	0.5%	1.4%	4.3%	63.3%	3.1%	21.6%	5.7%
2003	0.5%	1.6%	3.8%	62.2%	3.9%	22.4%	5.6%
2004	0.5%	1.4%	4.0%	60.7%	5.5%	22.5%	5.3%
2005	0.5%	1.3%	4.2%	57.9%	7.6%	23.1%	5.5%
2006	0.5%	1.1%	4.2%	59.3%	7.3%	22.1%	5.5%
2007	0.4%	1.2%	4.6%	57.2%	7.3%	23.6%	5.6%
2008	0.3%	1.3%	4.7%	54.5%	8.5%	25.4%	5.3%
2009	0.3%	1.5%	5.6%	59.1%	5.3%	23.2%	5.1%
2010	0.1%	1.2%	5.8%	56.2%	7.6%	24.4%	4.7%
MX	0.007	0.013	0.046	0.607	0.050	0.224	0.053

Данную таблицу можно представить в виде линейной эконометрической зависимости:

G3=33802+0,007G3_1+0,013G3_2+0,046G3_3+0,607G3_4+0,050G3_5+0,224G3_6+0,053*G3_7

Анализ регрессионного уравнения.

Y=2.8922X1^0.0121(X2^-0.0433)X3^0.0303X4^0.5651X5^0.0289X6^0.3915*X7^0.0044

Beta	Sb	Tstudent	Tкрит	R2	SeY	Fнабл	Fкрит	ST	SE
2.892	0.257	4.135	2.015	1.000	160.77	2160.37	4.82	391018576	129240
0.012	0.003	4.269
-0.043	0.023	1.898
0.030	0.013	2.280
0.565	0.033	17.286
0.029	0.004	6.559
0.392	0.043	9.031
0.004	0.026	0.171
Determinant	2.35E-20
1.000	-0.270	0.569	0.738	0.779	0.856	0.954	0.851
-0.270	1.000	-0.457	-0.118	0.126	-0.620	-0.404	-0.212
0.569	-0.457	1.000	0.403	0.067	0.664	0.764	0.574
0.738	-0.118	0.403	1.000	0.514	0.566	0.742	0.377
0.779	0.126	0.067	0.514	1.000	0.400	0.572	0.618
0.856	-0.620	0.664	0.566	0.400	1.000	0.908	0.776
0.954	-0.404	0.764	0.742	0.572	0.908	1.000	0.822
0.851	-0.212	0.574	0.377	0.618	0.776	0.822	1.000

Проведенный корреляционный анализ массива Y и X1... Х7 не подтвердил правильность выбора Y. Проведенный анализ предполагает, что зависимая переменная Y расположена не в 1 колонке, а в колонке - 7. Эта переменная обозначена как: Chemical products. Это можно объяснить неправильным выбором Y, или тем фактом, что некоторые участвующие в регрессионной модели предсказывающие переменные Х1,...,Х7 взаимно коррелированны (взаимосвязаны и влияют друг на друга), т.е. они по-настоящему не являются независимыми переменными.

Se для исследуемого регрессионного уравнения составила Se=Sqr(e'e/(n-k-1))=160.77.

Где e'e-векторное произведение ошибки точности уравнения регрессии или сумма квадратов остатков исходного значения Y и Y на линии регрессии для исходных значений Х1,..,Х7.

В исследовании коэффициент детерминации R2, который представляет ту долю общей вариации зависимой переменной, которую объясняет выбранная нами для подгонки регрессия, составил R2 = 1.000. А множественный приведенный коэффициент детерминации R2коррект, с учетом степеней свободы, составил R2коррект=0.999. Это указывает на очень сильную зависимость между независимыми переменными Хi и зависимой переменной Y.

Применим F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат случайным.

Если F-наблюдаемое больше, чем F-критическое, то взаимосвязь между переменными X и Y имеется.

Используя односторонний тест. F-наблюдаемое равно 2160, что больше , чем F-критическое значение 4.818. Следовательно, полученное регрессионное уравнение можно использовать для предсказания величины Y.

Определим, полезен ли каждый коэффициент наклона bi при Хi для оценки Y.

Ниже приводятся полученные результаты:

X0 b0 = 2.892 Sb0 = 0.257 T0наб. = 4.135 Значим.

X1 b1 = 0.0121 Sb1 = 0.0028 T1наб. = 4.269 Значим.

X2 b2 = -0.0433 Sb2 = 0.0228 T2наб. = 1.898 Исследовать

X3 b3 = 0.0303 Sb3 = 0.0133 T3наб. = 2.280 Значим.

X4 b4 = 0.565 Sb4 = 0.0327 T4наб. = 17.29 Значим.

X5 b5 = 0.0289 Sb5 = 0.0044 T5наб. = 6.559 Значим.

X6 b6 = 0.392 Sb6 = 0.0434 T6наб. = 9.031 Значим.

X7 b7 = 0.0044 Sb7 = 0.0256 T7наб. = 0.171 Исследовать

Сокращенный текст анализ по функции/функционалу - G4.

Для дальнейшего анализа введем следующие сокращенные обозначения для функции и всех переменных.
Функция Y: G4.
Переменная X1: Wholesale trade.
Переменная X2: Retail trade.
Переменная X3: Air transportation.
Переменная X4: Rail&Water transportation.
Переменная X5: Truck transportation.
Переменная X6: Transit&Other&Pipeline transportation and support activities.
Переменная X7: Warehousing and storage.

	7	G4_1	G4_2	G4_3	G4_4	G4_5	G4_6	G4_7
		42	44RT	481	482	484	487OS	493
	G4	Wholesale trade	Retail trade	Air transportation	Rail & Water transportation	Truck transportation	Transit & Other & Pipeline transportation and support activities	Warehousing and storage
1998	23938	14873	414	640	2322	4649	774	266
1999	24808	15687	316	601	2167	5037	717	283
2000	24559	15374	277	616	2107	5059	767	359
2001	23501	14431	187	512	2054	5069	805	443
2002	25074	15644	195	474	2360	4992	918	491
2003	29492	15544	176	561	2526	9052	1105	528
2004	27954	17255	231	494	2656	5689	1138	491
2005	29873	18223	225	525	3030	6120	1229	521
2006	30287	18036	207	568	3220	6414	1271	571
2007	29405	17603	165	542	3158	6287	1090	560
2008	29077	17731	131	529	3239	5918	969	560
2009	22157	13355	70	343	2485	4290	1056	558
2010	24865	15449	80	340	2888	4553	1098	457

Дескриптивный, описательный анализ данных.

Далее будет представлена дескриптивная статистика по всем переменным Y,X1,...,X7 по следующим показателям:

Функция Y:

Mx=26538; ErrMX=790.99; Sx=2852; Var=0.107; Me=25074; Ex=-1.746; As=0.0340; Min=22157; Max=30287; Inter=8130; Sum=344990;

Переменная X1:

Mx=16093; ErrMX=423.45; Sx=1527; Var=0.0949; Me=15644; Ex=-0.991; As=-0.0405; Min=13355; Max=18223; Inter=4868; Sum=209205;

Переменная X2:

Mx=205.69; ErrMX=25.88; Sx=93.30; Var=0.454; Me=195.00; Ex=0.951; As=0.699; Min=70.00; Max=414.00; Inter=344.00; Sum=2674;

Переменная X3:

Mx=518.85; ErrMX=25.48; Sx=91.89; Var=0.177; Me=529.00; Ex=0.604; As=-0.991; Min=340.00; Max=640.00; Inter=300.00; Sum=6745;

Переменная X4:

Mx=2632; ErrMX=119.94; Sx=432.46; Var=0.164; Me=2526; Ex=-1.518; As=0.197; Min=2054; Max=3239; Inter=1185; Sum=34212;

Переменная X5:

Mx=5625; ErrMX=343.44; Sx=1238; Var=0.220; Me=5069; Ex=4.542; As=1.857; Min=4290; Max=9052; Inter=4762; Sum=73129;

Переменная X6:

Mx=995.15; ErrMX=51.12; Sx=184.31; Var=0.185; Me=1056; Ex=-1.301; As=-0.179; Min=717.00; Max=1271; Inter=554.00; Sum=12937;

Переменная X7:

Mx=468.31; ErrMX=28.95; Sx=104.39; Var=0.223; Me=491.00; Ex=-0.0537; As=-1.060; Min=266.00; Max=571.00; Inter=305.00; Sum=6088;

G4	G4_1	G4_2	G4_3	G4_4	G4_5	G4_6	G4_7
	42	44RT	481	482	484	487OS	493
	Wholesale trade	Retail trade	Air transportation	Rail & Water transportation	Truck transportation	Transit & Other & Pipeline transportation and support activities	Warehousing and storage
1998	62.1%	1.7%	2.7%	9.7%	19.4%	3.2%	1.1%
1999	63.2%	1.3%	2.4%	8.7%	20.3%	2.9%	1.1%
2000	62.6%	1.1%	2.5%	8.6%	20.6%	3.1%	1.5%
2001	61.4%	0.8%	2.2%	8.7%	21.6%	3.4%	1.9%
2002	62.4%	0.8%	1.9%	9.4%	19.9%	3.7%	2.0%
2003	52.7%	0.6%	1.9%	8.6%	30.7%	3.7%	1.8%
2004	61.7%	0.8%	1.8%	9.5%	20.4%	4.1%	1.8%
2005	61.0%	0.8%	1.8%	10.1%	20.5%	4.1%	1.7%
2006	59.6%	0.7%	1.9%	10.6%	21.2%	4.2%	1.9%
2007	59.9%	0.6%	1.8%	10.7%	21.4%	3.7%	1.9%
2008	61.0%	0.5%	1.8%	11.1%	20.4%	3.3%	1.9%
2009	60.3%	0.3%	1.5%	11.2%	19.4%	4.8%	2.5%
2010	62.1%	0.3%	1.4%	11.6%	18.3%	4.4%	1.8%
MX	0.608	0.008	0.020	0.099	0.211	0.037	0.018

Данную таблицу можно представить в виде линейной эконометрической зависимости:

G4=15255+0,608G4_1+0,008G4_2+0,020G4_3+0,099G4_4+0,211G4_5+0,037G4_6+0,018*G4_7

Анализ регрессионного уравнения.

Y=4.3826X1^0.5479X2^0.0065X3^0.0032X4^0.1170X5^0.2561X6^0.0361*(X7^-0.0049)

Beta	Sb	Tstudent	Tкрит	R2	SeY	Fнабл	Fкрит	ST	SE
4.383	0.105	14.070	2.015	1.000	50	5611	5	97602703	12424
0.548	0.019	29.358
0.007	0.007	0.909
0.003	0.016	0.193
0.117	0.015	7.768
0.256	0.007	35.494
0.036	0.013	2.731
-0.005	0.007	0.701
Determinant	1.01E-19
1.000	0.899	-0.089	0.284	0.765	0.764	0.683	0.559
0.899	1.000	0.026	0.288	0.774	0.425	0.564	0.412
-0.089	0.026	1.000	0.824	-0.426	-0.082	-0.516	-0.783
0.284	0.288	0.824	1.000	-0.180	0.322	-0.384	-0.474
0.765	0.774	-0.426	-0.180	1.000	0.329	0.781	0.698
0.764	0.425	-0.082	0.322	0.329	1.000	0.455	0.426
0.683	0.564	-0.516	-0.384	0.781	0.455	1.000	0.803
0.559	0.412	-0.783	-0.474	0.698	0.426	0.803	1.000

Проведенный корреляционный анализ массива Y и X1... Х7 не подтвердил правильность выбора Y. Проведенный анализ предполагает, что зависимая переменная Y расположена не в 1 колонке, а в колонке - 7. Эта переменная обозначена как: Transit&Other&Pipeline transportation and support activities. Это можно объяснить неправильным выбором Y, или тем фактом, что некоторые участвующие в регрессионной модели предсказывающие переменные Х1,...,Х7 взаимно коррелированны (взаимосвязаны и влияют друг на друга), т.е. они по-настоящему не являются независимыми переменными.

Se для исследуемого регрессионного уравнения составила Se=Sqr(e'e/(n-k-1))=49.85.

В исследовании коэффициент детерминации R2, который представляет ту долю общей вариации зависимой переменной, которую объясняет выбранная нами для подгонки регрессия, составил R2 = 1.000. А множественный приведенный коэффициент детерминации R2коррект, с учетом степеней свободы, составил R2коррект=1.000. Это указывает на очень сильную зависимость между независимыми переменными Хi и зависимой переменной Y.

Применим F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат случайным.

Если F-наблюдаемое больше, чем F-критическое, то взаимосвязь между переменными X и Y имеется.

Используя односторонний тест. F-наблюдаемое равно 5611, что больше , чем F-критическое значение 4.818. Следовательно, полученное регрессионное уравнение можно использовать для предсказания величины Y.

Определим, полезен ли каждый коэффициент наклона bi при Хi для оценки Y.

Ниже приводятся полученные результаты:

X0 b0 = 4.383 Sb0 = 0.105 T0наб. = 14.07 Значим.

X1 b1 = 0.548 Sb1 = 0.0187 T1наб. = 29.36 Значим.

X2 b2 = 0.0065 Sb2 = 0.0072 T2наб. = 0.909 Исследовать

X3 b3 = 0.0032 Sb3 = 0.0164 T3наб. = 0.193 Исследовать

X4 b4 = 0.117 Sb4 = 0.0151 T4наб. = 7.768 Значим.

X5 b5 = 0.256 Sb5 = 0.0072 T5наб. = 35.49 Значим.

X6 b6 = 0.0361 Sb6 = 0.0132 T6наб. = 2.731 Значим.

X7 b7 = -0.0049 Sb7 = 0.0070 T7наб. = 0.701 Исследовать

Сокращенный текст анализ по функции/функционалу - G5.

Для дальнейшего анализа введем следующие сокращенные обозначения для функции и всех переменных.
Функция Y: G5.
Переменная X1: Broadcasting (except internet) and telecommunications.
Переменная X2: Other information services.
Переменная X3: Federal Reserve banks, credit intermediation, and related activities.
Переменная X4: Securities&Insurance, commodity contracts, and investments.
Переменная X5: Real estate.

	5	G5_1	G5_2	G5_3	G5_4	G5_5
		513	514	521CI	523	531
	G5	Broadcasting (except internet) and telecommunications	Other information services	Federal Reserve banks, credit intermediation, and related activities	Securities & Insurance, commodity contracts, and investments	Real estate
1998	3578	663	630	949	387	949
1999	3958	645	636	1132	463	1082
2000	4443	664	716	1111	435	1517
2001	4714	678	800	1102	393	1741
2002	5022	681	821	1252	387	1881
2003	4747	669	719	1218	352	1789
2004	4888	642	645	1181	394	2026
2005	5501	713	689	1294	467	2338
2006	5595	740	741	1330	497	2287
2007	5225	679	677	1099	479	2291
2008	4421	611	632	829	257	2092
2009	4138	497	536	1006	305	1794
2010	6773	508	572	853	269	4571

Дескриптивный, описательный анализ данных.

Далее будет представлена дескриптивная статистика по всем переменным Y,X1,...,X5 по следующим показателям:

Функция Y:

Mx=4846; ErrMX=228.54; Sx=824.00; Var=0.170; Me=4747; Ex=1.402; As=0.822; Min=3578; Max=6773; Inter=3195; Sum=63003;

Переменная X1:

Mx=645.38; ErrMX=19.66; Sx=70.88; Var=0.110; Me=664.00; Ex=1.252; As=-1.273; Min=497.00; Max=740.00; Inter=243.00; Sum=8390;

Переменная X2:

Mx=678.00; ErrMX=22.82; Sx=82.27; Var=0.121; Me=677.00; Ex=-0.294; As=0.131; Min=536.00; Max=821.00; Inter=285.00; Sum=8814;

Переменная X3:

Mx=1104; ErrMX=43.93; Sx=158.41; Var=0.143; Me=1111; Ex=-0.648; As=-0.445; Min=829.00; Max=1330; Inter=501.00; Sum=14356;

Переменная X4:

Mx=391.15; ErrMX=21.73; Sx=78.36; Var=0.200; Me=393.00; Ex=-0.809; As=-0.447; Min=257.00; Max=497.00; Inter=240.00; Sum=5085;

Переменная X5:

Mx=2028; ErrMX=243.37; Sx=877.47; Var=0.433; Me=1881; Ex=6.330; As=2.075; Min=949.00; Max=4571; Inter=3622; Sum=26358;

G5	G5_1	G5_2	G5_3	G5_4	G5_5
	513	514	521CI	523	531
	Broadcasting (except internet) and telecommunications	Other information services	Federal Reserve banks, credit intermediation, and related activities	Securities & Insurance, commodity contracts, and investments	Real estate
1998	18.5%	17.6%	26.5%	10.8%	26.5%
1999	16.3%	16.1%	28.6%	11.7%	27.3%
2000	14.9%	16.1%	25.0%	9.8%	34.1%
2001	14.4%	17.0%	23.4%	8.3%	36.9%
2002	13.6%	16.3%	24.9%	7.7%	37.5%
2003	14.1%	15.1%	25.7%	7.4%	37.7%
2004	13.1%	13.2%	24.2%	8.1%	41.4%
2005	13.0%	12.5%	23.5%	8.5%	42.5%
2006	13.2%	13.2%	23.8%	8.9%	40.9%
2007	13.0%	13.0%	21.0%	9.2%	43.8%
2008	13.8%	14.3%	18.8%	5.8%	47.3%
2009	12.0%	13.0%	24.3%	7.4%	43.4%
2010	7.5%	8.4%	12.6%	4.0%	67.5%
MX	0.137	0.143	0.232	0.083	0.405

Данную таблицу можно представить в виде линейной эконометрической зависимости:

G5=3550+0,125G5_1+0,048G5_2+0,029G5_3+0,314G5_4+0,405*G5_5

Анализ регрессионного уравнения.

Y=16.0878(X1^-0.0182)X2^0.1820X3^0.0226X4^0.1864*X5^0.4454

Beta	Sb	Tstudent	Tкрит	R2	SeY	Fнабл	Fкрит	ST	SE
16.09	0.79	3.53	1.89	0.97	191.5	43.0	3.9	8147625	256835
-0.02	0.23	0.08
0.18	0.17	1.05
0.02	0.14	0.17
0.19	0.11	1.70
0.45	0.03	14.15
Determinant	-0
1.00	-0.07	0.07	0.12	-0.04	0.92
-0.07	1.00	0.77	0.72	0.78	-0.42
0.07	0.77	1.00	0.63	0.46	-0.25
0.12	0.72	0.63	1.00	0.75	-0.26
-0.04	0.78	0.46	0.75	1.00	-0.37
0.92	-0.42	-0.25	-0.26	-0.37	1.00

Проведенный корреляционный анализ массива Y и X1... Х5 не подтвердил правильность выбора Y. Проведенный анализ предполагает, что зависимая переменная Y расположена не в 1 колонке, а в колонке - 2. Эта переменная обозначена как: Broadcasting (except internet) and telecommunications. Это можно объяснить неправильным выбором Y, или тем фактом, что некоторые участвующие в регрессионной модели предсказывающие переменные Х1,...,Х5 взаимно коррелированны (взаимосвязаны и влияют друг на друга), т.е. они по-настоящему не являются независимыми переменными.

Se для исследуемого регрессионного уравнения составила Se=Sqr(e'e/(n-k-1))=191.55.

В исследовании коэффициент детерминации R2, который представляет ту долю общей вариации зависимой переменной, которую объясняет выбранная нами для подгонки регрессия, составил R2 = 0.968. А множественный приведенный коэффициент детерминации R2коррект, с учетом степеней свободы, составил R2коррект=0.946. Это указывает на очень сильную зависимость между независимыми переменными Хi и зависимой переменной Y.

Применим F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат случайным.

Если F-наблюдаемое больше, чем F-критическое, то взаимосвязь между переменными X и Y имеется.

Используя односторонний тест. F-наблюдаемое равно 43.01, что больше , чем F-критическое значение 3.866. Следовательно, полученное регрессионное уравнение можно использовать для предсказания величины Y.

Определим, полезен ли каждый коэффициент наклона bi при Хi для оценки Y.

Ниже приводятся полученные результаты:

X0 b0 = 16.09 Sb0 = 0.788 T0наб. = 3.528 Значим.

X1 b1 = -0.0182 Sb1 = 0.225 T1наб. = 0.0807 Исследовать

X2 b2 = 0.182 Sb2 = 0.173 T2наб. = 1.052 Исследовать

X3 b3 = 0.0226 Sb3 = 0.135 T3наб. = 0.167 Исследовать

X4 b4 = 0.186 Sb4 = 0.109 T4наб. = 1.704 Исследовать

X5 b5 = 0.445 Sb5 = 0.0315 T5наб. = 14.15 Значим.

Сокращенный текст анализ по функции/функционалу - G6.

Для дальнейшего анализа введем следующие сокращенные обозначения для функции и всех переменных.
Функция Y: G6.
Переменная X1: Rental and leasing services and lessors of intangible assets.
Переменная X2: Legal services .
Переменная X3: Computer systems design and related services .
Переменная X4: Miscellaneous professional, scientific, and technical services.
Переменная X5: Management of companies and enterprises.
Переменная X6: Administrative and support services.
Переменная X7: Waste management and remediation services.
Переменная X8: Educational services.

	8	G6_1	G6_2	G6_3	G6_4	G6_5	G6_6	G6_7	G6_8
		532RL	5411	5415	5412OP	55	561	562	61
	G6	Rental and leasing services and lessors of intangible assets	Legal services	Computer systems design and related services	Miscellaneous professional, scientific, and technical services	Management of companies and enterprises	Administrative and support services	Waste management and remediation services	Educational services
1998	15092	1565	878	389	4850	4273	1970	329	838
1999	15371	1702	877	475	4975	4220	1964	345	813
2000	16178	1995	802	514	5213	4696	2079	347	532
2001	16370	2180	786	535	5122	4811	2112	359	465
2002	17361	2177	870	548	5612	5162	2247	386	359
2003	17639	2284	923	512	5417	5417	2325	407	354
2004	17785	2215	854	487	5531	5706	2129	368	495
2005	19424	2444	879	527	6127	6170	2324	405	548
2006	19988	2721	891	538	6336	6579	2502	266	155
2007	20345	2615	903	562	6590	6215	2892	355	213
2008	20410	2670	852	559	6268	6494	2801	664	102
2009	17198	2148	750	477	5274	5631	2302	466	150
2010	17185	2117	726	465	5086	5874	2113	606	198

Дескриптивный, описательный анализ данных.

Далее будет представлена дескриптивная статистика по всем переменным Y,X1,...,X8 по следующим показателям:

Функция Y:

Mx=17719; ErrMX=503.18; Sx=1814; Var=0.102; Me=17361; Ex=-1.101; As=0.276; Min=15092; Max=20410; Inter=5318; Sum=230346;

Переменная X1:

Mx=2218; ErrMX=95.78; Sx=345.32; Var=0.156; Me=2180; Ex=-0.160; As=-0.321; Min=1565; Max=2721; Inter=1156; Sum=28833;

Переменная X2:

Mx=845.46; ErrMX=16.81; Sx=60.62; Var=0.0717; Me=870.00; Ex=-0.273; As=-0.883; Min=726.00; Max=923.00; Inter=197.00; Sum=10991;

Переменная X3:

Mx=506.77; ErrMX=13.31; Sx=47.99; Var=0.0947; Me=514.00; Ex=1.758; As=-1.185; Min=389.00; Max=562.00; Inter=173.00; Sum=6588;

Переменная X4:

Mx=5569; ErrMX=159.60; Sx=575.45; Var=0.103; Me=5417; Ex=-1.064; As=0.604; Min=4850; Max=6590; Inter=1740; Sum=72401;

Переменная X5:

Mx=5481; ErrMX=222.07; Sx=800.69; Var=0.146; Me=5631; Ex=-1.144; As=-0.271; Min=4220; Max=6579; Inter=2359; Sum=71248;

Переменная X6:

Mx=2289; ErrMX=80.66; Sx=290.83; Var=0.127; Me=2247; Ex=0.482; As=1.086; Min=1964; Max=2892; Inter=928.00; Sum=29760;

Переменная X7:

Mx=407.92; ErrMX=30.96; Sx=111.62; Var=0.274; Me=368.00; Ex=1.706; As=1.459; Min=266.00; Max=664.00; Inter=398.00; Sum=5303;

Переменная X8:

Mx=401.69; ErrMX=67.27; Sx=242.53; Var=0.604; Me=359.00; Ex=-0.561; As=0.592; Min=102.00; Max=838.00; Inter=736.00; Sum=5222;

G6	G6_1	G6_2	G6_3	G6_4	G6_5	G6_6	G6_7	G6_8
	532RL	5411	5415	5412OP	55	561	562	61
	Rental and leasing services and lessors of intangible assets	Legal services	Computer systems design and related services	Miscellaneous professional, scientific, and technical services	Management of companies and enterprises	Administrative and support services	Waste management and remediation services	Educational services
1998	10.4%	5.8%	2.6%	32.1%	28.3%	13.1%	2.2%	5.6%
1999	11.1%	5.7%	3.1%	32.4%	27.5%	12.8%	2.2%	5.3%
2000	12.3%	5.0%	3.2%	32.2%	29.0%	12.9%	2.1%	3.3%
2001	13.3%	4.8%	3.3%	31.3%	29.4%	12.9%	2.2%	2.8%
2002	12.5%	5.0%	3.2%	32.3%	29.7%	12.9%	2.2%	2.1%
2003	12.9%	5.2%	2.9%	30.7%	30.7%	13.2%	2.3%	2.0%
2004	12.5%	4.8%	2.7%	31.1%	32.1%	12.0%	2.1%	2.8%
2005	12.6%	4.5%	2.7%	31.5%	31.8%	12.0%	2.1%	2.8%
2006	13.6%	4.5%	2.7%	31.7%	32.9%	12.5%	1.3%	0.8%
2007	12.9%	4.4%	2.8%	32.4%	30.5%	14.2%	1.7%	1.0%
2008	13.1%	4.2%	2.7%	30.7%	31.8%	13.7%	3.3%	0.5%
2009	12.5%	4.4%	2.8%	30.7%	32.7%	13.4%	2.7%	0.9%
2010	12.3%	4.2%	2.7%	29.6%	34.2%	12.3%	3.5%	1.2%
MX	0.125	0.048	0.029	0.314	0.308	0.129	0.023	0.024

Данную таблицу можно представить в виде линейной эконометрической зависимости:

G6=13633+0,125G6_1+0,048G6_2+0,029G6_3+0,314G6_4+0,308G6_5+0,129G6_6+0,023G6_7+0,024G6_8

Анализ регрессионного уравнения.

Y=7.9757X1^0.2041X2^0.0563(X3^-0.1054)X4^0.5478X5^0.1429X6^0.0230X7^0.0429X8^0.0041

Beta	Sb	Tstudent	Tкрит	R2	SeY	Fнабл	Fкрит	ST	SE
7.98	0.32	6.54	2.13	1.00	86.21	663.83	6.00	39496975	29726.9
0.20	0.10	2.13
0.06	0.04	1.48
-0.11	0.08	1.34
0.55	0.11	5.01
0.14	0.10	1.44
0.02	0.07	0.33
0.04	0.01	3.17
0.00	0.01	0.58
Determinant	-0
1.00	0.96	0.32	0.71	0.97	0.94	0.91	0.25	-0.71
0.96	1.00	0.21	0.81	0.91	0.92	0.86	0.21	-0.79
0.32	0.21	1.00	0.23	0.46	0.08	0.32	-0.46	0.24
0.71	0.81	0.23	1.00	0.75	0.57	0.70	0.08	-0.58
0.97	0.91	0.46	0.75	1.00	0.84	0.90	0.05	-0.58
0.94	0.92	0.08	0.57	0.84	1.00	0.79	0.38	-0.81
0.91	0.86	0.32	0.70	0.90	0.79	1.00	0.28	-0.72
0.25	0.21	-0.46	0.08	0.05	0.38	0.28	1.00	-0.50
-0.71	-0.79	0.24	-0.58	-0.58	-0.81	-0.72	-0.50	1.00

Проведенный корреляционный анализ массива Y и X1... Х8 подтвердил правильность выбора Y.

Se для исследуемого регрессионного уравнения составила Se=Sqr(e'e/(n-k-1))=86.21.

В исследовании коэффициент детерминации R2, который представляет ту долю общей вариации зависимой переменной, которую объясняет выбранная нами для подгонки регрессия, составил R2 = 0.999. А множественный приведенный коэффициент детерминации R2коррект, с учетом степеней свободы, составил R2коррект=0.998. Это указывает на очень сильную зависимость между независимыми переменными Хi и зависимой переменной Y.

Применим F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат случайным.

Если F-наблюдаемое больше, чем F-критическое, то взаимосвязь между переменными X и Y имеется.

Используя односторонний тест. F-наблюдаемое равно 663.83, что больше , чем F-критическое значение 5.999. Следовательно, полученное регрессионное уравнение можно использовать для предсказания величины Y.

Определим, полезен ли каждый коэффициент наклона bi при Хi для оценки Y.

Ниже приводятся полученные результаты:

X0 b0 = 7.976 Sb0 = 0.317 T0наб. = 6.543 Значим.

X1 b1 = 0.204 Sb1 = 0.0960 T1наб. = 2.125 Значим.

X2 b2 = 0.0563 Sb2 = 0.0380 T2наб. = 1.482 Исследовать

X3 b3 = -0.105 Sb3 = 0.0785 T3наб. = 1.342 Исследовать

X4 b4 = 0.548 Sb4 = 0.109 T4наб. = 5.013 Значим.

X5 b5 = 0.143 Sb5 = 0.0989 T5наб. = 1.445 Исследовать

X6 b6 = 0.0230 Sb6 = 0.0690 T6наб. = 0.333 Исследовать

X7 b7 = 0.0429 Sb7 = 0.0135 T7наб. = 3.171 Значим.

X8 b8 = 0.0041 Sb8 = 0.0070 T8наб. = 0.584 Исследовать

Сокращенный текст анализ по функции/функционалу - G7.

Для дальнейшего анализа введем следующие сокращенные обозначения для функции и всех переменных.
Функция Y: G7.
Переменная X1: Accommodation & Performing arts & Amusements, spectator sports, museums, and related activities.
Переменная X2: Food services and drinking places.
Переменная X3: Other services, except government.
Переменная X4: Federal & State & Scrap & Noncomparable, used and secondhand goods.

	3	G7_1	G7_2	G7_3	G7_4
		711AS	722	81	Used
	G7	Accommodation & Performing arts & Amusements, spectator sports, museums, and related activities	Food services and drinking places	Other services, except government	Federal & State & Scrap & Noncomparable, used and secondhand goods
1998	6658	648	666	2887	2457
1999	6472	666	640	2842	2324
2000	6517	682	686	2775	2374
2001	6280	665	653	2669	2293
2002	7038	760	849	2677	2752
2003	7787	769	893	2595	3530
2004	6071	775	845	2513	1938
2005	5984	856	891	2486	1751
2006	6046	949	1008	2637	1452
2007	5239	909	946	2264	1120
2008	5441	775	807	2053	1806
2009	4583	598	677	1595	1713
2010	4315	668	735	1798	1114

Дескриптивный, описательный анализ данных.

Далее будет представлена дескриптивная статистика по всем переменным Y,X1,...,X4 по следующим показателям:

Функция Y:

Mx=6033; ErrMX=265.59; Sx=957.61; Var=0.159; Me=6071; Ex=0.0713; As=-0.220; Min=4315; Max=7787; Inter=3472; Sum=78431;

Переменная X1:

Mx=747.69; ErrMX=29.62; Sx=106.81; Var=0.143; Me=760.00; Ex=-0.527; As=0.601; Min=598.00; Max=949.00; Inter=351.00; Sum=9720;

Переменная X2:

Mx=792.00; ErrMX=34.22; Sx=123.38; Var=0.156; Me=807.00; Ex=-1.292; As=0.261; Min=640.00; Max=1008; Inter=368.00; Sum=10296;

Переменная X3:

Mx=2445; ErrMX=112.06; Sx=404.05; Var=0.165; Me=2595; Ex=0.239; As=-1.097; Min=1595; Max=2887; Inter=1292; Sum=31791;

Переменная X4:

Mx=2048; ErrMX=187.11; Sx=674.63; Var=0.329; Me=1938; Ex=0.580; As=0.589; Min=1114; Max=3530; Inter=2416; Sum=26624;

G7	G7_1	G7_2	G7_3	G7_4
	711AS	722	81	Used
	Accommodation & Performing arts & Amusements, spectator sports, museums, and related activities	Food services and drinking places	Other services, except government	Federal & State & Scrap & Noncomparable, used and secondhand goods
1998	9.7%	10.0%	43.4%	36.9%
1999	10.3%	9.9%	43.9%	35.9%
2000	10.5%	10.5%	42.6%	36.4%
2001	10.6%	10.4%	42.5%	36.5%
2002	10.8%	12.1%	38.0%	39.1%
2003	9.9%	11.5%	33.3%	45.3%
2004	12.8%	13.9%	41.4%	31.9%
2005	14.3%	14.9%	41.5%	29.3%
2006	15.7%	16.7%	43.6%	24.0%
2007	17.4%	18.1%	43.2%	21.4%
2008	14.2%	14.8%	37.7%	33.2%
2009	13.0%	14.8%	34.8%	37.4%
2010	15.5%	17.0%	41.7%	25.8%
MX	0.127	0.134	0.406	0.333

Данную таблицу можно представить в виде линейной эконометрической зависимости:

G7=4032+0,127G7_1+0,134G7_2+0,406G7_3+0,333G7_4

Анализ регрессионного уравнения.

Y=2.9694X1^0.0612X2^0.2154X3^0.4327X4^0.3163

Beta	Sb	Tstudent	Tкрит	R2	SeY	Fнабл	Fкрит	ST	SE
2.97	0.22	4.85	1.86	1.00	79.0	438.5	3.69	11004090	49959
0.06	0.13	0.46
0.22	0.10	2.09
0.43	0.04	9.66
0.32	0.02	14.65
Determinant	1E-18
1.00	0.09	0.10	0.84	0.89
0.09	1.00	0.94	0.14	-0.29
0.10	0.94	1.00	-0.01	-0.19
0.84	0.14	-0.01	1.00	0.57
0.89	-0.29	-0.19	0.57	1.00

Проведенный корреляционный анализ массива Y и X1... Х4 не подтвердил правильность выбора Y. Проведенный анализ предполагает, что зависимая переменная Y расположена не в 1 колонке, а в колонке - 5. Эта переменная обозначена как: Federal&State&Scrap&Noncomparable, used and secondhand goods. Это можно объяснить неправильным выбором Y, или тем фактом, что некоторые участвующие в регрессионной модели предсказывающие переменные Х1,...,Х4 взаимно коррелированны (взаимосвязаны и влияют друг на друга), т.е. они по-настоящему не являются независимыми переменными.

Se для исследуемого регрессионного уравнения составила Se=Sqr(e'e/(n-k-1))=79.02.

Где e'e-векторное произведение ошибки точности уравнения регрессии или сумма квадратов остатков исходного значения Y и Y на линии регрессии для исходных значений Х1,..,Х4.

В исследовании коэффициент детерминации R2, который представляет ту долю общей вариации зависимой переменной, которую объясняет выбранная нами для подгонки регрессия, составил R2 = 0.995. А множественный приведенный коэффициент детерминации R2коррект, с учетом степеней свободы, составил R2коррект=0.993. Это указывает на очень сильную зависимость между независимыми переменными Хi и зависимой переменной Y.

Применим F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат случайным.

Если F-наблюдаемое больше, чем F-критическое, то взаимосвязь между переменными X и Y имеется.

Используя односторонний тест. F-наблюдаемое равно 438.53, что больше , чем F-критическое значение 3.687. Следовательно, полученное регрессионное уравнение можно использовать для предсказания величины Y.

Определим, полезен ли каждый коэффициент наклона bi при Хi для оценки Y.

Ниже приводятся полученные результаты:

X0 b0 = 2.969 Sb0 = 0.224 T0наб. = 4.849 Значим.

X1 b1 = 0.0612 Sb1 = 0.132 T1наб. = 0.465 Исследовать

X2 b2 = 0.215 Sb2 = 0.103 T2наб. = 2.089 Значим.

X3 b3 = 0.433 Sb3 = 0.0448 T3наб. = 9.658 Значим.

X4 b4 = 0.316 Sb4 = 0.0216 T4наб. = 14.65 Значим.

Сокращенный текст анализ по функции/функционалу - GII.

Для дальнейшего анализа введем следующие сокращенные обозначения для функции и всех переменных.
Функция Y: GII.
Переменная X1: G1.
Переменная X2: G2.
Переменная X3: G3.
Переменная X4: G4.
Переменная X5: G5.
Переменная X6: G6.
Переменная X7: G7.

7	GII	G1	G2	G3	G4	G5	G6	G7
1998	182013	37638	38082	57027	23938	3578	15092	6658
1999	186965	41284	39730	55342	24808	3958	15371	6472
2000	184507	36442	38444	57924	24559	4443	16178	6517
2001	177118	38261	33970	54022	23501	4714	16370	6280
2002	177008	36063	33465	52985	25074	5022	17361	7038
2003	182217	35986	33378	53188	29492	4747	17639	7787
2004	190834	39079	39574	55483	27954	4888	17785	6071
2005	206817	44011	41842	60182	29873	5501	19424	5984
2006	207273	42109	42200	61048	30287	5595	19988	6046
2007	203296	37740	38654	66688	29405	5225	20345	5239
2008	202951	37616	34339	71647	29077	4421	20410	5441
2009	156458	30210	23039	55133	22157	4138	17198	4583
2010	172523	29962	25299	64124	24865	6773	17185	4315

Дескриптивный, описательный анализ данных.

Далее будет представлена дескриптивная статистика по всем переменным Y,X1,...,X7 по следующим показателям:

Функция Y:

Mx=186922; ErrMX=4185; Sx=15089; Var=0.0807; Me=184507; Ex=-0.229; As=-0.245; Min=156458; Max=207273; Inter=50815; Sum=2.43E+06;

Переменная X1:

Mx=37415; ErrMX=1122; Sx=4046; Var=0.108; Me=37638; Ex=0.394; As=-0.507; Min=29962; Max=44011; Inter=14049; Sum=486401;

Переменная X2:

Mx=35540; ErrMX=1634; Sx=5892; Var=0.166; Me=38082; Ex=0.626; As=-1.106; Min=23039; Max=42200; Inter=19161; Sum=462016;

Переменная X3:

Mx=58830; ErrMX=1583; Sx=5708; Var=0.0970; Me=57027; Ex=0.591; As=1.125; Min=52985; Max=71647; Inter=18662; Sum=764793;

Переменная X4:

Mx=26538; ErrMX=790.99; Sx=2852; Var=0.107; Me=25074; Ex=-1.746; As=0.0340; Min=22157; Max=30287; Inter=8130; Sum=344990;

Переменная X5:

Mx=4846; ErrMX=228.54; Sx=824.00; Var=0.170; Me=4747; Ex=1.402; As=0.822; Min=3578; Max=6773; Inter=3195; Sum=63003;

Переменная X6:

Mx=17719; ErrMX=503.18; Sx=1814; Var=0.102; Me=17361; Ex=-1.101; As=0.276; Min=15092; Max=20410; Inter=5318; Sum=230346;

Переменная X7:

Mx=6033; ErrMX=265.59; Sx=957.61; Var=0.159; Me=6071; Ex=0.0713; As=-0.220; Min=4315; Max=7787; Inter=3472; Sum=78431;

GII	G1	G2	G3	G4	G5	G6	G7
1998	20.7%	20.9%	31.3%	13.2%	2.0%	8.3%	3.7%
1999	22.1%	21.2%	29.6%	13.3%	2.1%	8.2%	3.5%
2000	19.8%	20.8%	31.4%	13.3%	2.4%	8.8%	3.5%
2001	21.6%	19.2%	30.5%	13.3%	2.7%	9.2%	3.5%
2002	20.4%	18.9%	29.9%	14.2%	2.8%	9.8%	4.0%
2003	19.7%	18.3%	29.2%	16.2%	2.6%	9.7%	4.3%
2004	20.5%	20.7%	29.1%	14.6%	2.6%	9.3%	3.2%
2005	21.3%	20.2%	29.1%	14.4%	2.7%	9.4%	2.9%
2006	20.3%	20.4%	29.5%	14.6%	2.7%	9.6%	2.9%
2007	18.6%	19.0%	32.8%	14.5%	2.6%	10.0%	2.6%
2008	18.5%	16.9%	35.3%	14.3%	2.2%	10.1%	2.7%
2009	19.3%	14.7%	35.2%	14.2%	2.6%	11.0%	2.9%
2010	17.4%	14.7%	37.2%	14.4%	3.9%	10.0%	2.5%
MX	0.200	0.189	0.315	0.142	0.026	0.095	0.032

Данную таблицу можно представить в виде линейной эконометрической зависимости:

GII=148383+0,200G1+0,189G2+0,315G3+0,142G4+0,026G5+0,095G6+0,032*G7

Анализ регрессионного уравнения.

Y=6.4837X1^0.2117X2^0.1642X3^0.3314X4^0.1783X5^0.0302X6^0.0443*X7^0.0204

Beta	Sb	T student	Tкрит	R2	SeY	Fнабл	Fкрит	ST	SE
6.48	0.09	21.95	2.02	1.00	186.10	11269	4.82	3E+09	173160
0.21	0.01	25.97
0.16	0.01	29.71
0.33	0.01	53.44
0.18	0.01	22.86
0.03	0.00	12.20
0.04	0.01	6.13
0.02	0.00	5.11
Deter	-1E-19
1.00	0.79	0.81	0.55	0.85	0.19	0.68	0.12
0.79	1.00	0.93	0.02	0.56	-0.12	0.25	0.44
0.81	0.93	1.00	0.05	0.55	-0.14	0.20	0.48
0.55	0.02	0.05	1.00	0.46	0.33	0.68	-0.58
0.85	0.56	0.55	0.46	1.00	0.37	0.81	0.15
0.19	-0.12	-0.14	0.33	0.37	1.00	0.46	-0.40
0.68	0.25	0.20	0.68	0.81	0.46	1.00	-0.30
0.12	0.44	0.48	-0.58	0.15	-0.40	-0.30	1.00

Проведенный корреляционный анализ массива Y и X1... Х7 подтвердил правильность выбора Y.

Se для исследуемого регрессионного уравнения составила Se=Sqr(e'e/(n-k-1))=186.10.

В исследовании коэффициент детерминации R2, который представляет ту долю общей вариации зависимой переменной, которую объясняет выбранная нами для подгонки регрессия, составил R2 = 1.000. А множественный приведенный коэффициент детерминации R2коррект, с учетом степеней свободы, составил R2коррект=1.000. Это указывает на очень сильную зависимость между независимыми переменными Хi и зависимой переменной Y.

Применим F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат случайным.

Если F-наблюдаемое больше, чем F-критическое, то взаимосвязь между переменными X и Y имеется.

Используя односторонний тест. F-наблюдаемое равно 11269, что больше , чем F-критическое значение 4.818. Следовательно, полученное регрессионное уравнение можно использовать для предсказания величины Y.

Определим, полезен ли каждый коэффициент наклона bi при Хi для оценки Y.

Ниже приводятся полученные результаты:

X0 b0 = 6.484 Sb0 = 0.0851 T0наб. = 21.95 Значим.

X1 b1 = 0.212 Sb1 = 0.0082 T1наб. = 25.97 Значим.

X2 b2 = 0.164 Sb2 = 0.0055 T2наб. = 29.71 Значим.

X3 b3 = 0.331 Sb3 = 0.0062 T3наб. = 53.44 Значим.

X4 b4 = 0.178 Sb4 = 0.0078 T4наб. = 22.86 Значим.

X5 b5 = 0.0302 Sb5 = 0.0025 T5наб. = 12.20 Значим.

X6 b6 = 0.0443 Sb6 = 0.0072 T6наб. = 6.129 Значим.

X7 b7 = 0.0204 Sb7 = 0.0040 T7наб. = 5.113 Значим.

Сокращенный текст анализ по функции/функционалу - Value Added.

Для дальнейшего анализа введем следующие сокращенные обозначения для функции и всех переменных.
Функция Y: Value Added.
Переменная X1: Compensation of employees.
Переменная X2: Taxes on production and imports, less subsidies.
Переменная X3: Gross operating surplus.

3	VA	VA1_1	VA1_2	VA1_3
		V001	V002	V003
	Value Added	Compensation of employees	Taxes on production and imports, less subsidies	Gross operating surplus
1998	103244	60909	2967	39368
1999	110837	64429	3028	43380
2000	112038	65150	3118	43770
2001	103603	64307	3073	36223
2002	102909	64719	3150	35040
2003	101293	65346	3234	32713
2004	110387	67557	3337	39493
2005	112009	68977	3482	39550
2006	119048	73143	3672	42233
2007	116570	71425	3993	41152
2008	104946	68441	4258	32247
2009	106709	61984	3949	40776
2010	103260	62850	4122	36288

Дескриптивный, описательный анализ данных.

Далее будет представлена дескриптивная статистика по всем переменным Y,X1,...,X3 по следующим показателям:

Функция Y:

Mx=108219; ErrMX=1576; Sx=5681; Var=0.0525; Me=106709; Ex=-0.752; As=0.605; Min=101293; Max=119048; Inter=17755; Sum=1.41E+06;

Переменная X1:

Mx=66095; ErrMX=1005; Sx=3625; Var=0.0548; Me=65150; Ex=-0.317; As=0.587; Min=60909; Max=73143; Inter=12234; Sum=859237;

Переменная X2:

Mx=3491; ErrMX=126.34; Sx=455.51; Var=0.130; Me=3337; Ex=-1.356; As=0.524; Min=2967; Max=4258; Inter=1291; Sum=45383;

Переменная X3:

Mx=38633; ErrMX=1059; Sx=3819; Var=0.0988; Me=39493; Ex=-0.972; As=-0.397; Min=32247; Max=43770; Inter=11523; Sum=502233;

VA	VA1_1	VA1_2	VA1_3
	V001	V002	V003
	Compensation of employees	Taxes on production and imports, less subsidies	Gross operating surplus
1998	59.0%	2.9%	38.1%
1999	58.1%	2.7%	39.1%
2000	58.1%	2.8%	39.1%
2001	62.1%	3.0%	35.0%
2002	62.9%	3.1%	34.0%
2003	64.5%	3.2%	32.3%
2004	61.2%	3.0%	35.8%
2005	61.6%	3.1%	35.3%
2006	61.4%	3.1%	35.5%
2007	61.3%	3.4%	35.3%
2008	65.2%	4.1%	30.7%
2009	58.1%	3.7%	38.2%
2010	60.9%	4.0%	35.1%

Данную таблицу можно представить в виде линейной эконометрической зависимости:

VA=53940+0,611VA1_1+0,032VA1_2+0,357*VA1_3

Анализ регрессионного уравнения.

Y=2.4247X1^0.6045X2^0.0351*X3^0.3515

beta	Sb	T student	Tкрит	R2	SeY	Fнабл	Fкрит	ST	SE
2.42	0.11	7.80	1.83	1.00	192.08	3496	3.63	4E+08	332060
0.60	0.01	57.83
0.04	0.00	7.82
0.35	0.01	65.93
Det	-2E-17
1.00	0.76	0.16	0.75
0.76	1.00	0.34	0.14
0.16	0.34	1.00	-0.21
0.75	0.14	-0.21	1.00

Проведенный корреляционный анализ массива Y и X1... Х3 подтвердил правильность выбора Y.

Se для исследуемого регрессионного уравнения составила Se=Sqr(e'e/(n-k-1))=192.08.

Где e'e-векторное произведение ошибки точности уравнения регрессии или сумма квадратов остатков исходного значения Y и Y на линии регрессии для исходных значений Х1,..,Х3.

В исследовании коэффициент детерминации R2, который представляет ту долю общей вариации зависимой переменной, которую объясняет выбранная нами для подгонки регрессия, составил R2 = 0.999. А множественный приведенный коэффициент детерминации R2коррект, с учетом степеней свободы, составил R2коррект=0.999. Это указывает на очень сильную зависимость между независимыми переменными Хi и зависимой переменной Y.

Применим F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат случайным.

Если F-наблюдаемое больше, чем F-критическое, то взаимосвязь между переменными X и Y имеется.

Используя односторонний тест. F-наблюдаемое равно 3496, что больше , чем F-критическое значение 3.633. Следовательно, полученное регрессионное уравнение можно использовать для предсказания величины Y.

Определим, полезен ли каждый коэффициент наклона bi при Хi для оценки Y.

Ниже приводятся полученные результаты:

X0 b0 = 2.425 Sb0 = 0.114 T0наб. = 7.800 Значим.

X1 b1 = 0.605 Sb1 = 0.0105 T1наб. = 57.83 Значим.

X2 b2 = 0.0351 Sb2 = 0.0045 T2наб. = 7.815 Значим.

X3 b3 = 0.351 Sb3 = 0.0053 T3наб. = 65.93 Значим.

Сокращенный текст анализ по функции/функционалу - GO.

Для дальнейшего анализа введем следующие сокращенные обозначения для функции и всех переменных.
Функция Y: GO.
Переменная X1: VA.
Переменная X2: GII.

2	GO	VA	GII
1998	285257	103244	182013
1999	297802	110837	186965
2000	296545	112038	184507
2001	280721	103603	177118
2002	279917	102909	177008
2003	283510	101293	182217
2004	301221	110387	190834
2005	318826	112009	206817
2006	326321	119048	207273
2007	319866	116570	203296
2008	307897	104946	202951
2009	263167	106709	156458
2010	275783	103260	172523

Дескриптивный, описательный анализ данных.

Далее будет представлена дескриптивная статистика по всем переменным Y,X1,...,X2 по следующим показателям:

Функция Y:

Mx=295141; ErrMX=5325; Sx=19198; Var=0.0650; Me=296545; Ex=-0.911; As=0.167; Min=263167; Max=326321; Inter=63154; Sum=3.84E+06;

Переменная X1:

Mx=108219; ErrMX=1576; Sx=5681; Var=0.0525; Me=106709; Ex=-0.752; As=0.605; Min=101293; Max=119048; Inter=17755; Sum=1.41E+06;

Переменная X2:

Mx=186922; ErrMX=4185; Sx=15089; Var=0.0807; Me=184507; Ex=-0.229; As=-0.245; Min=156458; Max=207273; Inter=50815; Sum=2.43E+06;

GO	VA	GII
1998	36.2%	63.8%
1999	37.2%	62.8%
2000	37.8%	62.2%
2001	36.9%	63.1%
2002	36.8%	63.2%
2003	35.7%	64.3%
2004	36.6%	63.4%
2005	35.1%	64.9%
2006	36.5%	63.5%
2007	36.4%	63.6%
2008	34.1%	65.9%
2009	40.5%	59.5%
2010	37.4%	62.6%
MX	0.367	0.633

Данную таблицу можно представить в виде линейной эконометрической зависимости:

GO=137119+0,367VA+0,633GII

Анализ регрессионного уравнения.

Y=1.9936X1^0.3705X2^0.6270

Beta	Sb	T student	Tкрит	R2	SeY	Fнабл	Fкрит	ST	SE
1.99	0.06	12.18	1.81	1.00	252	34709	3.71	4E+09	637057
0.37	0.01	60.05
0.63	0.00	160.38
Det	2E-16
1.00	0.79	0.97
0.79	1.00	0.63
0.97	0.63	1.00

Проведенный корреляционный анализ массива Y и X1... Х2 подтвердил правильность выбора Y.

Se для исследуемого регрессионного уравнения составила Se=Sqr(e'e/(n-k-1))=252.40.

Где e'e-векторное произведение ошибки точности уравнения регрессии или сумма квадратов остатков исходного значения Y и Y на линии регрессии для исходных значений Х1,..,Х2.

В исследовании коэффициент детерминации R2, который представляет ту долю общей вариации зависимой переменной, которую объясняет выбранная нами для подгонки регрессия, составил R2 = 1.000. А множественный приведенный коэффициент детерминации R2коррект, с учетом степеней свободы, составил R2коррект=1.000. Это указывает на очень сильную зависимость между независимыми переменными Хi и зависимой переменной Y.

Применим F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат случайным.

Если F-наблюдаемое больше, чем F-критическое, то взаимосвязь между переменными X и Y имеется.

Используя односторонний тест. F-наблюдаемое равно 34709, что больше , чем F-критическое значение 3.708. Следовательно, полученное регрессионное уравнение можно использовать для предсказания величины Y.

Определим, полезен ли каждый коэффициент наклона bi при Хi для оценки Y.

Ниже приводятся полученные результаты:

X0 b0 = 1.994 Sb0 = 0.0566 T0наб. = 12.18 Значим.

X1 b1 = 0.371 Sb1 = 0.0062 T1наб. = 60.05 Значим.

X2 b2 = 0.627 Sb2 = 0.0039 T2наб. = 160.38 Значим.

Множественный регрессионный анализ

Y=F(X1, X2, X3, ..., Xk)

при условии, что все остальные независимые переменные поддерживаются неизменными.

БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ ЭКОНОМЕТРИКИ

Закона больших чисел; Генеральной, выборочной совокупности; Концепция максимального правдоподобия; Принцип рандомизации, предложенные Р.Фишером в 1912 г.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Таким образом, частость m/n события А и его вероятность P(A) не совпадают. Разница между ними уменьшается при увеличении числа испытаний.

P(abs(m/n-P(A))>e=>0

Данный закон свидетельствует о наличии внутренней связи между случайностью и закономерностью, существующей в сфере массовых явлений.

ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ. ВЫБОРКА. РАНДОМИЗАЦИЯ

ИЗ СКАЗАННОГО ВЫШЕ СЛЕДУЮТ СЛЕДУЮЩИЕ ВЫВОДЫ

Математическое ожидание µ1 дискретной случайной величины с n возможными значениями x1,x2,..,xn и соответствующими вероятностями p1=p2=...=pn=1/n равно:

µ1=Sum(xi*pi), суммирование производится по i=1,2,...,n

MX=1/n*Sum(xi), суммирование производится по i=1,2,...,n

Дисперсия µ2 случайной дискретной величины равна:

µ2=Sum((xi-µ1)^2*pi), суммирование производится по i=1,2,...,n

DX=1/(n)*Sum((xi-МX)^2), суммирование производится по i=1,2,...,n

Чтобы получить несмещенную дисперсию выборки нужно ввести в качестве множителя данную поправку смещения, называемую поправкой Бесселя.

DX=1/(n-1)*Sum((xi-МX)^2).

Обозначая ошибку репрезентативности символом e, будем иметь для оценки ошибки среднего:

e=МX-µ1

e=МX-µ1=96-95,9=0,1 руб.

Разность e=w-p определяет ошибку репрезентативности.

p=1250/20000=0.0625

w=64/1000=0,064.

e=w-p=0,064-0,0625=0,0015,

или m/n - p=0.0015.

В соответствии со ВТОРЫМ определением ВЫБОРКИ все выборочные характеристики (MX, DX, m/n) являются СЛУЧАЙНЫМИ величинами, как функции от случайных!!!

В отличие от ВЫБОРОЧНЫХ, параметры ГЕНЕРАЛЬНОЙ совокупности (µ1;µ2;p) являются НЕСЛУЧАЙНЫМИ величинами!!!

Тогда оценка значения средней квадратической ошибки средней арифметической µ2mx определяют по формуле:

Sqr(DXmx)=Sqr(DX)/Sqr(n) - оценка точности значения средней арифметической MX,

sw=Sqr(w(1-w)/n)

Sqr(DXmx)=Sqr(DX/n*(1-n/N))

Sqr(DXmx)=Sqr(DX/n*(1-n/N))=Sqr(DX/n)

Sqr(DXmx)=Sqr(DX/n*(1-n/N))=Sqr(66.3/80*(1-80/500))=0.834

Ошибка медианы: DXme=DXmx*Pi/2, где Pi=3,14 число пи.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ НЕКОТОРОГО КОЭФФИЦИЕНТА ЗАДАННОЙ ПОСТОЯННОЙ

В этой связи полезным является распределение впервые определенное У.С.Госсетом, писавшим под псевдонимом Student.

z=(Xi-µ1)/sqr(µ2)

z=(Xi-µ1)/sqr(µ2)=(12-10)/sqr(4)=(12-10)/2=1

ПОСТРОЕНИЕ МНОГОФАКТОРНОЙ ФУНКЦИИ

Многофакторное уравнение должно отвечать трем важным требованиям:

Этап 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ.

Y=f(X1,X2,X3,X4,...,Xk).

Этап 2. СБОР И УТОЧНЕНИЕ ДАННЫХ

При сборе данных необходимо учитывать следующие аспекты:

ОРГАНИЗАЦИЯ И УТОЧНЕНИЕ ДАННЫХ

Например, в интерпретации Чекирды закон Окуня на современном этапе можно озвучить следующим образом:

КОЛИЧЕСТВО НАБЛЮДЕНИЙ

Размер выборки является компромиссом:

Этап 3. ВЫБОР НАИЛУЧШЕЙ ФОРМЫ УРАВНЕНИЯ

Y=b0+b1X1+b2X2+...+bnXn,

Степенная: Y=b0*X1^b1*...*Xn^bn => прологарифмируем левую и правую части уравнения => Ln(Y)=Ln(b0)+b1*Ln(X1)+...+bn*Ln(Xn)

Логарифмическая: Y=b0+b1*Ln(X1)+...+bn*Ln(Xn) => заменим выражения Ln(X1),...,Ln(Xn) на U1,...,Un => Y=b0+b1*U1+...+bn*Un

Экспоненциальная: Y=b0*Exp(b1X1)*...*Exp(bnXn) => прологарифмируем левую и правую части уравнения => Ln(Y)=Ln(b0)+b1*X1+...+bn*Xn

Полиноминальная (многочлен): Y=b0+b1*X1^1+b2*X1^2+...+bn*X1^n => заменим выражения X1^1,X1^2,...,X1^n на U1,...,Un => Y=b0+b1*U1+b2*U2+...+bn*Un

В каждом конкретном случае необходимо испробовать ВСЕ формы!!!

Этап 4. РАСЧЕТ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

Кроме более или менее стандартной выводимой информации, нам необходима дополнительная информация, такая, как:

Этап 5. ЭКСПЕРИМЕНТЫ С РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛЬЮ

Существуют, по крайней мере, три различных способа анализа регрессионной модели.

Алгоритм данного анализа следующий:

Этап 6. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Результаты анализа могут быть интерпретированы следующим образом.

ТЕСТИРОВАНИЕ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Пригодность модели может быть определена путем ответа на два фундаментальных вопроса:

Этап 6. 1. ТЕСТИРОВАНИЕ ПРИГОДНОСТИ МОДЕЛИ

ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

ВЕЛИЧИНЫ ПАРАМЕТРОВ

Этап 6. 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ И ОЦЕНКИ

ДАННЫЕ ТЕСТОВ

Для линейной, нелинейной регрессии необходимы статистические данные, с помощью которых можно ответить на следующие вопросы:

В линейной, нелинейной регрессии в целом существуют следующие тесты:

Для параметров отдельных переменных существуют тесты на:

ОБЩИЕ ТЕСТЫ

МНОЖЕСТВЕННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ, R2

Полная вариация (SST) = Объяснимая вариация (SSR) + Необъяснимая вариация (SSE)

Вариация - это сумма квадратов отклонений собранных (наблюдаемых) значений от линии регрессии. Дисперсия - это арифметическое среднее вариации.

Множественный коэффициент детерминации вычисляется по следующей формуле:

R2 = SSR / SST

Sqr(DXmx)=Sqr(DX/n(1-n/N))=Sqr(66.3/80(1-80/500))=0.834

Степенная: Y=b0X1^b1...Xn^bn => прологарифмируем левую и правую части уравнения => Ln(Y)=Ln(b0)+b1Ln(X1)+...+bn*Ln(Xn)

Логарифмическая: Y=b0+b1Ln(X1)+...+bnLn(Xn) => заменим выражения Ln(X1),...,Ln(Xn) на U1,...,Un => Y=b0+b1U1+...+bnUn

Экспоненциальная: Y=b0Exp(b1X1)...Exp(bnXn) => прологарифмируем левую и правую части уравнения => Ln(Y)=Ln(b0)+b1X1+...+bn*Xn

Полиноминальная (многочлен): Y=b0+b1X1^1+b2X1^2+...+bnX1^n => заменим выражения X1^1,X1^2,...,X1^n на U1,...,Un => Y=b0+b1U1+b2U2+...+bnUn

G1=18863+0,015G1_1+0,647G1_2+0,023G1_3+0,270G1_4+0,045*G1_5

Y=1.8298X1^0.0269X2^0.6566(X3^-0.0042)X4^0.2593*X5^0.1046

G2=19453+0,650G2_1+0,033G2_2+0,012G2_3+0,130G2_4+0,048G2_5+0,078G2_6+0,027G2_7+0,022G2_8

Y=3.0815X1^0.6500X2^0.0069X3^0.0143X4^0.1503X5^0.0533X6^0.0899X7^0.0256X8^0.0209

G3=33802+0,007G3_1+0,013G3_2+0,046G3_3+0,607G3_4+0,050G3_5+0,224G3_6+0,053*G3_7

Y=2.8922X1^0.0121(X2^-0.0433)X3^0.0303X4^0.5651X5^0.0289X6^0.3915*X7^0.0044

G4=15255+0,608G4_1+0,008G4_2+0,020G4_3+0,099G4_4+0,211G4_5+0,037G4_6+0,018*G4_7

Y=4.3826X1^0.5479X2^0.0065X3^0.0032X4^0.1170X5^0.2561X6^0.0361*(X7^-0.0049)