Множественность IRR.

Другая ситуация, в которой критерий. IRR не может быть использован, — это анализ неординарных проектов. В ординарном (normal) инвестиционном проекте один или несколько оттоков сменяются серией поступлений денежных средств; если же в проекте предполагается значительный отток денежных средств в ходе его реализации или по окончании, этот проект называется неординарным (non normal). Наиболее распространенная проблема при анализе неординарного проекта — это множественность IRR.

Уравнение (7.2) может иметь более чем одно решение, что и означает множественность IRR. Заметим, что это уравнение — многочлен n-й степени, поэтому оно имеет n различных корней. Для ординарного проекта все корни уравнения (7.2), за исключением одного, мнимые, поэтому и находится единственное значение IRR. В случае с неординарным проектом число действительных корней больше единицы, что и приводит к множественности значений IRR.

Чтобы проиллюстрировать эту проблему, представим фирму, вкладывающую 1.6 млн. дол. в добычу ископаемых (проект М). В течение первого года рудник дает доход 10 млн. дол., тогда как в течение второго года необходимо будет провести работы по восстановлению окружающей среды на сумму 10 млн. дол. Таким образом, ожидаемый денежный поток имеет вид (в млн. дол.):

Для нахождения IRR подставим эти данные в (7.2):

Получим два решения: NPV = 0 при IRR = 25% и IRR = 400% , Если вы попытаетесь найти IRR проекта М с помощью финансового калькулятора, возможно, он не сможет выполнить расчеты и укажет на ошибку. Тем не менее можно ввести прогнозируемую вами оценку IRR, и в этом случае калькулятор выдает вам значение IRR, ближайшее к введенной оценке. Можно также найти множественные значения IRR, вводя различные значения k и рисуя график NPV по данным калькулятора. Все точки пересечения графика NPV с осью абсцисс и дадут вам искомые оценки. Наконец, можно воспользоваться испытанным методом проб и ошибок для нахождения значений fc, при которых NPV = 0.

Эта ситуация показана на рис. 7.2.

Следует ли из рис. 7.2, что фирма должна попытаться увеличить цену своего капитала до 100%, для того чтобы максимизировать NPV проекта?

Конечно, нет. Фирма должна стремиться минимизировать цену своего капитала, что приводит к максимизации цены ее акций. Повышение цены капитала, достигнутое такими действиями, может сделать проект более привлекательным, но эти действия, безусловно, будут губительны для многочисленных ординарных проектов фирмы. В данном случае проект может иметь положительный NPV только в том случае, если цена капитала фирмы сравнительно высока, несмотря на все усилия по ее снижению.

Заметим, что проблемы не возникает, если применяется критерий NPV. Так, если цена капитала проекта М равна 10%, то его NPV= -0.77 млн. дол. и проект должен быть отвергнут; если k находится в интервале между 25 и 400%, то NPV>0.

Авторам известен подобный пример из практики с множественностью IRR, когда Темный банк Калифорнии получил заем у страховой компании и использовал эти средства вместе с собственным капиталом для покупки реактивных двигателей, которые затем были сданы в аренду одной из крупных авиакомпаний. Банк ожидал получить в первые годы приток денежных средств (арендные платежи плюс налоговые льготы минус ссудный процент страховой компании), затем несколько достаточно значительных оттоков, связанных с погашением долга страховой компании, и, наконец, большой приток от продажи двигателей по окончании срока аренды. Описанная здесь операция носит название аренда со смешанным финансированием. Подробная характеристика подобных операций приведена в Теме 17.

В ходе анализа были получены два значения IRR, поэтому возник вопрос, какой из них корректен. Нельзя было игнорировать критерий IRR и ограничиться расчетом NPV, так как аренда была уже оформлена и руководство банка, а также наблюдатели Федерального резервного банка хотели знать эффективность операции. Нас попросили помочь решить эту проблему, и мы посоветовали банку пересчитать притоки и оттоки по данному проекту, нарастив их по ставке реинвестирования в 9%, численно равной проценту по предоставляемым банком ссудам. Для пересчитанного денежного потока была рассчитана IRR, которая и была охарактеризована как доходность от аренды. Эта процедура, которая по сути представляет собой расчет модифицированной IRR и будет обсуждена в следующем разделе, удовлетворила все заинтересованные стороны.

Только что рассмотренные примеры высветили лишь одну из проблем, связанных с использованием критерия IRR, — проблему множественности значений IRR для неординарных денежных потоков. Могут возникать и другие вопросы при анализе подобных потоков, как-то: отсутствие IRR или нахождение такого ее значения, которое может привести к неверным решениям в оценке приемлемости проектов. Во всех таких случаях куда проще использовать критерий NPV, и он в концептуальном плане приводит к правильным решениям в области инвестиционной политики.

Вопросы для самопроверки

Опишите, как построить график NPV.

Что характеризует точка пересечения графиков NPV и как она влияет на выбор альтернативных проектов?

Какие две основные причины приводят к противоречиям между критериями IRR и NPV?

Какая ключевая предпосылка приводит к противоречию между IRR и NPV? Если конфликт существует, какой критерий — IRR или NPV — предпочтителен и почему?

Объясните разницу между ординарным и неординарным проектами.

В чем заключается проблема множественности IRR и когда она возникает?

Модифицированная внутренняя доходность. (Modified IRR, MIRR).

Несмотря на приверженность ученых критерию NPV, исследования показывают, что практические работники предпочитают критерий IRR критерию NPV в соотношении 3:1. Возможно, менеджерам более привлекателен анализ инвестиций в терминах относительных, а не абсолютных величин. Имея это в виду, зададимся вопросом, нельзя ли построить относительный показатель эффективности взамен обычной IRR?

Ответ — да, можно модифицировать IRR и сделать ее показателем эффективности, пригодным для использования при построении бюджета капиталовложений. Этот показатель, называемый модифицированной IRR (Modified IRR, MIRR), определяется следующим образом:

PV инвестиций = PV TV,

Здесь COF означает оттоки денежных средств, или инвестиций, a CIF — притоки. В левой части формулы — дисконтированная по цене капитала величина всех инвестиций, числитель в правой части — это наращенная стоимость денежных поступлений при предположении, что они могут быть реинвестированы по цене капитала. Этот показатель называется терминальной стоимостью (Terminal Value, TV). Ставка дисконта, уравнивающая PV инвестиций и TV, определяется как MIRR. Известно несколько альтернативных определений MIRR. Приведенный нами показатель достаточно прост и эффективен в использовании. Дискуссия по этой проблеме приведена в статье: McDaniel W. R., McCarty D. E., Jessell К. A. Disconted Cash Flow with Explicit Reinvestment Rates : Tutorial and Extension // Financial Rev. 1988. Aug. P. 369-385.

Если все инвестиции имеют место при t = 0, а первый приток происходит при t=1, что и имеет место в наших проектах S и L из табл. 7.1, тогда эта формула принимает следующий вид:

Логику расчета по этой формуле для проекта S можно представить в виде схемы:

Расчеты по этой формуле для проектов L и S дают следующие результаты:

MIRRs = 12.1%, MIRR_L = 11.3%.

Показатель MIRR имеет существенные преимущества перед обычной IRR. MIRR предполагает, что все денежные поступления по проекту реинвестируются по цене капитала, тогда как IRR предполагает, что реинвестирование происходит по цене источника данного проекта. Поскольку реинвестирование по k в целом более корректно, MIRR в лучшей степени отражает доходность проекта. MIRR также решает проблему множественности IRR. В частности, в задаче о добыче ископаемых (проект М): при k = 10% имеем MIRR = 5.6%, т. е. проект должен быть отвергнут. Это соответствует заключению по критерию NPV, так как NPV = -770000 дол.

Можно ли использовать MIRR, так же как NPV, для выбора альтернативных проектов?

Если два проекта равны по масштабу и продолжительности, то NPV и MIRR дают одинаковый ответ. Таким образом, для всех проектов типа S и L, если NPVs>NPV_L, то MIRRs>MIRR_L, и никаких противоречий, как это было при сравнении NPV и IRR, не возникает. Если проекты одинаковы по масштабу и различны по продолжительности, MIRR и NPV приведут к одинаковому результату при условии, что MIRR рассчитана исходя из продолжительности долгосрочного проекта (в этом случае для краткосрочного проекта недостающие денежные поступления берутся нулевыми). Однако если альтернативные проекты существенно различаются по масштабу, можно прийти к противоречивым оценкам, т. е., сравнивая большой (L) u маленький (S) проекты, можно получить: NPV_L>NPVs, но MIRRs>MIRR_L.

Мы полагаем, что MIRR предпочтительнее IRR в качестве характеристики реальной доходности проекта, или "ожидаемой долгосрочной нормы проекта", но NPV все-таки лучше для анализа альтернативных проектов, различающихся по масштабу, поскольку он показывает определенно, насколько оптимальный проект увеличивает стоимость фирмы.

Вопросы для самопроверки

Кратко опишите алгоритм расчета MIRR.

В чем принципиальное различие между MIRR и IRR?

Какие преимущества имеет MIRR над IRR при разработке инвестированного бюджета?

При каких условиях может возникнуть противоречие между MIRR и NPV?

Сравнение критериев NPV и PI.

Применение этих критериев в анализе альтернативных проектов может приводить к противоречивым оценкам. Рассмотрим два проекта: L (большой), требующий 5 млн. дол. вложений и обещающий 6 млн. дол. после первого года, проект S (маленький) с величиной инвестиции 100000 дол. и притоком в сумме 130000 дол. в конце первого года. Оба проекта имеют средний риск и будут оценены по цене капитала, равной 10%. Тогда

NPVL= -5000000 $ + 6000000/1.10 = 454545 $

NPVL= -100000 $ + 130000/1.10 = 18182 $

Таким образом, критерий NPV показывает, что должен быть принят проект L, так как NPV_L > NPV_S, но критерий PI показывает, что РI_S > РI_L.

Какой же проект должен быть принят? Вспомним, что состояние акционеров повышается на величину NPV проекта, поэтому очевидно, что предпочтение следует отдать проекту L. Таким образом, для фирмы, стремящейся максимизировать богатство акционеров, критерий NPV лучше. Если бы проекты были независимы, следовало бы принять оба проекта, поскольку для них NPV > 0 и PI > 1.

Итак, NPV является лучшим критерием по сравнению с PI, тем не менее, последний может быть использован для оптимизации бюджета капиталовложений. Эта тема будет рассмотрена в Теме 10.

Вопросы для самопроверки

1. При каких условиях критерии NPV и PI дают различные результаты выбора?

2. Какой критерий более предпочтителен? Поясните.

Приведенная стоимость будущих затрат.

Фирмы нередко делают выбор между альтернативными проектами, основываясь не на NPV проектов, а на сравнении величин приведенной стоимости будущих затрат. Например, компания "Moet & Chandon", производящая французское шампанское, недавно оценивала несколько вариантов переработки отходов на своем калифорнийском заводе. Выбор варианта, естественно, не влияет на цену и качество шипучего напитка, производимого на заводе.

Поскольку инвестиционный проект не оказывает влияния на доходы компании, оценка делалась на основе минимизации затрат. Табл. 7.3 содержит ожидаемые затраты по двум лучшим технологиям из расчета 5-летнего срока эксплуатации. Процесс А требует меньших инвестиций, чем В, но А более трудоемок. Таким образом, в нулевой год затраты А относительно меньше, но его операционные затраты относительно высоки.

Аналитики компании полагали, что оба процесса имеют такой же риск, как средний проект компании, и поэтому они использовали цену капитала фирмы 12% для дисконтирования денежных потоков каждого проекта, как показано в табл. 7.3. Технология А имеет меньшую приведенную стоимость будущих затрат, поэтому она предпочтительнее. Проблема дисконтирования затрат (или оттоков) будет рассмотрена в Теме 9 при обсуждении поправки на риск.

Таблица 7.3

Производственные затраты по процессам A и В (в дол.)

Вопросы для самопроверки

1. Поясните процедуру оценки двух альтернативных проектов на базе затрат.

2. Какое условие необходимо, чтобы использовать метод оценки по затратам? (Вспомните о годовом доходе).

Изменение цены капитала.

В предыдущих рассуждениях предполагалось, что цена капитала в будущем не изменится. Однако допустим, что фирма ожидает изменения цены капитала с течением времени либо в силу крупномасштабного изменения ситуации на рынке капиталов, либо из-за внутренних причин. В этом случае при расчете NPV нужно учесть, что цена капитала по проекту не постоянна. Допустим, проект W требует инвестиций в 10000 дол., а ожидаемые в течение трех лет годовые поступления составят 4100 дол. Если цена капитала проекта предполагается постоянной и равной 10%, то

NPVw = -10000$ + 4100$/(1.10)¹ + 4100$/(1.10)² + 4100$/(1.10)³ = 196$

Что же произойдет, если фирма ожидает роста цены капитала в течение трех следующих лет? Если продолжительность кредита, полученного для финансирования проекта, равна его продолжительности, цена заемного капитала может быть взята как постоянная. Что касается цены собственного капитала, то она должна меняться от года к году, если общий уровень учетных ставок колеблется или если меняется степень риска фирмы. Влияние инфляции на изменение цены собственного капитала теоретически может быть оценено на основе информации, содержащейся в структуре учетной ставки.

Пусть средневзвешенное значение цены капитала по годам равно:

k-i = 10%, но k-i = 12% и А-з = 14%.

В этом случае расчетное значение NPV = -26 дол.:

NPVw = -10000$ + 4100$/(1.10)¹ + 4100$/(1.12*1.10) + 4100$/(1.14*1.12*1.10) = -26$

Таким образом, проект W должен быть принят, если цена капитала постоянна, но должен быть отвергнут, если цена капитала будет увеличиваться.

Другим вариантом в случае ожидаемого изменения цены капитала является формула

Этот простой пример позволяет сделать ряд выводов. 1. Если ожидается изменение цены капитала в течение времени и можно прогнозировать эти изменения, тогда NPV должен рассчитываться с учетом множества значений цены капитала. 2. Принятый при прежних условиях проект может быть отвергнут, если цена капитала возрастает. 3. Вне зависимости от прогноза о динамике цены капитала IRRw = 11.1%, поэтому, если цена капитала непостоянна, неясно, с чем сравнивать IRR; вероятно, можно воспользоваться средней ожидаемых в будущем значений цены капитала. Эти замечания служат дополнительными доводами в пользу критерия NPV по сравнению с IRR.

Должна ли тем не менее фирма пытаться прогнозировать цену капитала и затем использовать прогнозные оценки в процессе формирования бюджета?

Если специалисты компании действительно полагают, что им удается сделать точный прогноз, тогда изменения в цене капитала должны учитываться. Однако сделать такой прогноз весьма непросто, поэтому фирмы обычно пользуются текущей ценой капитала как наилучшей оценкой будущих ее значений, а это приводит к использованию постоянного значения данного показателя при составлении инвестиционного бюджета.

Вопросы для самопроверки

Каким образом прогнозируемое изменение цены капитала может быть учтено в процессе составления бюджета капиталовложений?

Какую цену капитала — постоянную или переменную — предпочитают использовать на практике? Поясните.

Наша точка зрения по поводу формирования бюджета инвестиций: принятие решений.

Не считая показателя ARR, в этой Теме были представлены пять потенциальных критериев для разработки бюджета капиталовложений, причем каждый из них имеет свои достоинства и недостатки. В ходе дискуссии мы целенаправленно сравнивали один критерий с другим, чтобы высветить их силу и слабость. Вероятно, могло создаться впечатление, что "искушенные" фирмы предпочитают пользоваться только одним критерием — NPV. Сегодня в сущности все наиболее важные решения инвестиционного характера анализируются с помощью компьютера, следовательно, нетрудно рассчитать все эти критерии:

1. обыкновенный и дисконтированный сроки окупаемости,

2. NPV,

3. IRR,

4. PI

5. MIRR.

По сути многие солидные фирмы, такие как IRM, GE, "Royal Dutch Petroleum", рассчитывают и анализируют все пять критериев, поскольку каждый из них дает какую-то дополнительную релевантную информацию.

Обыкновенный и дисконтированный сроки окупаемости дают информацию о риске и ликвидности проекта — длительный срок окупаемости означает, что,

во-первых, инвестированные средства будут связаны в течение многих лет, следовательно, проект относительно неликвидный,

во-вторых, поступления по проекту должны прогнозироваться на далекую перспективу, что означает существенную рискованность проекта. Для аналогии упомянем процесс оценки облигаций. Невозможно сравнивать доходность облигаций без учета условий их погашения, поскольку именно ими определяется степень риска облигаций.

NPV важен потому, что он показывает генерируемый проектом прирост благосостояния акционеров фирмы и, по нашему мнению, является лучшей характеристикой отдачи на вложенный капитал.

Будучи относительным показателем, IRR также оценивает доходность инвестиции, и именно этот показатель многим менеджерам, особенно неспециалистам в области финансов, представляется наиболее предпочтительным. Кроме того, IRR содержит информацию о "резерве безопасности проекта", которая не свойственна NPV.

Рассмотрим пример с двумя альтернативными проектами:

проект S (небольшой) с инвестицией 10000 дол. при t = 0 и поступлением 16500 дол. в конце первого года и проект L (большой) с инвестицией 100000 дол. и поступлением 115000 дол. в конце первого года. При цене капитала 10% оба проекта имеют NPV = 5000 дол., т. е. выбор безразличен. Однако проект S оставляет нам больше свободы для маневра. Даже если фактические денежные поступления будут на 40% ниже прогнозируемых 16500 дол., фирма тем не менее оправдает свои 10000 инвестированных долларов. Напротив, если реальный доход от проекта L снизится всего лишь на 14% прогнозируемого уровня, фирма понесет убыток. Далее, если поступлений не будет вовсе, фирма потеряет всего 10000 дол. на проекте S по сравнению со 100000 дол. на проекте L. В отличие от NPV, не содержащего информации о "резерве безопасности", IRR ею обладает: IRR проекта S огромна — 65%, а IRR проекта L только 15.5%, поэтому даже если в ходе реализации проекта S поступления существенно снизятся, он все равно останется прибыльным.

PI также дает информацию о "резерве предела безопасности", поскольку он измеряет прибыль, приходящуюся на 1 дол. инвестиции. Для проекта S PI = 1.5, для проекта L PI = 1.05; таким образом, PI, как и IRR, показывает, что проект S имеет большую устойчивость в отношении изменчивости денежного потока, чем проект L. Наконец, MIRR не только обладает всеми достоинствами IRR, но также построена с учетом более корректной ставки реинвестирования и, кроме того, позволяет анализировать неординарные проекты.

Итак, различные критерии оценки проектов дают менеджерам различную информацию. Поскольку расчет критериев несложен, все они должны учитываться в процессе принятия решения. В каждом конкретном случае один критерий оказывается более весомым, чем другой, но было бы ошибкой игнорировать информацию, присущую каждому критерию.

Вопросы для самопроверки

Опишите достоинства и недостатки пяти критериев оценки инвестиционных проектов, рассмотренных в этой Теме.

Должно ли решение об инвестировании приниматься только на основе NPV проекта?